¿Por qué los operadores de campo deberían satisfacer las ecuaciones de movimiento clásicas?

Question

Para cuantizar un escalar campo de la teoría con la acción:

$$S=\int \mathrm d^Dx\mathscr{L}(\phi,\partial_\mu\phi)=\int \mathrm dx^0L(\phi,\partial_0\phi)$$

promovemos $\phi(\vec{x})$ $\pi=\frac{\delta L}{\delta(\partial_0\phi)}=\pi(\vec{x})$ a ser operador de campo a tiempo fijo $x^0$ (con la canónica de conmutación relación $[\phi(\vec{x}),\pi(\vec{y})]=\delta^{D-1}(\vec{x}-\vec{y})$), luego usamos la ecuación clásica de movimiento para encontrar $\phi$ $\pi$ todo el tiempo.

¿Qué principios se encuentran detrás de esto? ¿Por qué hemos de suponer que los operadores de campo satisfacer la ecuación clásica de movimiento?

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Por ejemplo, si tenemos una teoría clásica con $S=\int \,\mathrm dtL(\phi,\partial_t\phi)$, el ímpetu $\pi=\frac{\delta L}{\delta(\partial_t\phi)}$ hamiltonianos $H=\pi\phi-L$, la clásica ecuación de movimiento es:

$$\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm dt}=\frac{\delta L}{\delta(\partial_t\phi)}$$

Cuando hacemos la cuantización canónica, promovemos $[\phi,\pi]=\delta(\vec{x}-\vec{y})$ y la ecuación de movimiento para $\phi$ $$\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm dt}=i[H,\phi]$$

¿Por qué debería de $i[H,\phi]$ tiene la misma forma como $\frac{\delta L}{\delta(\partial_t\phi)}$? Este hecho viene de donde?

Answer 1

Cómo ver en la cuantización canónica: Todos los operadores de $\mathcal{O}$ en una teoría cuántica de cumplir con los Heisenberg ecuaciones de movimiento $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathcal{O}(t) = \mathrm{i}[H,\mathcal{O}(t)]$$ donde $H$ es el Hamiltoniano de la densidad y que es exactamente el quantum de la versión de la clásica de las ecuaciones de movimiento de Hamilton. Para que los campos, como son los operadores, de hecho debe obedecer a las ecuaciones clásicas de movimiento.

Cómo vemos en la ruta integral de cuantización: Escribir $\phi'(x) = \phi(x) + \epsilon\delta(y-x)$ y observar la ruta integral de medida es invariante bajo este. Expanda el integrando de primer orden en $\epsilon$, y deducir $$ \int\left(\frac{\delta S}{\delta\phi(x)} + J(x)\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}S[\phi]+J\phi}\mathcal{D}\phi = 0$$ que se conoce como el Schwinger-Dyson ecuación. Establecimiento $J=0$ da $\delta S/\delta\phi = 0$ (dentro de la ruta integral, que es el PI de la versión de "como un operador de la ecuación"), que es exactamente la clásica ecuación de movimiento.

Answer 2

Supongamos primero que tiene que tratar con campo libre teorías.

Se inicia desde canónica de conmutación o anticommutation relaciones para coordinar $q(x, t)$ e ímpetu $p(x, t)$: $$ \etiqueta 0 [q_{i}(\mathbf x , t), p_{j}(\mathbf y , t)]_{\pm} = i\delta (\mathbf x - \mathbf y)\delta_{ij}, \quad [q_{i}(\mathbf x , t),q_{j}(\mathbf y , t)]_{\pm} = [p_{i}(\mathbf x , t), p_{j}(\mathbf y , t)]_{\pm} = 0 $$ Este es, en cierto sentido análogo cuántico de los corchetes de Poisson.

Tales relaciones reault en importante variacional identidades (desde aquí operadores de coordenadas dependientes, necesitamos utilizar variacional de cálculo en lugar de diferencial) para bosonic operador $F \equiv F(q, p)$: $$ \frac{\delta F[q(t),p(t)]}{\delta q_{n}(\mathbf x , t)} \equiv i[p_{n}(\mathbf x , t),F[q(t), p(t)]], \quad \frac{\delta F[q(t),p(t)]}{\delta p_{n}(\mathbf x , t)} \equiv i[F[q(t), p(t)], q_{n}(\mathbf x , t)] $$ De manera que, por arbitraria $c$valor funcional $F[q(t), p(t)]$ su variación es $$ \tag 1 \delta F [q(t), p(t)] = $$ $$ \sum_{n}\int d^{d}\mathbf r \left( \delta q_{n}(\mathbf r , t)i[p_{n}(\mathbf r , t),F[q(t), p(t)]] + \delta p_{n}(\mathbf r , t)i[F[q(t), p(t)], q_{n}(\mathbf r , t)]\right) $$ Desde el sentido matemático de $\hat{H}_{0}$ (es la traducción en tiempo de operador) se sigue que $$ \tag 2 q_{n}(\mathbf r, t) = e^{iH_{0}t}q_{n}(\mathbf r , 0)e^{-iH_{0}t}, \quad p_{n}(\mathbf r, t)e^{iH_{0}t}p_{n}(\mathbf r , 0)e^{-iH_{0}t} $$ De $(1)$ $(2)$ sigue canónica de Heisenberg MOE: $$ \tag 2\frac{dF[q(t), p(t)]}{dt} = i[F, H_{0}] $$

Ahora, vamos a suponer el caso de la interacción de la teoría. Podemos interactuar $Q(\mathbf x , t), P(\mathbf x , t)$ de libre campo de las coordenadas y el impulso por el uso de Heisenberg imagen: $$ \etiqueta 3 Q(\mathbf r , t) = e^{iHt}p(\mathbf r , 0)e^{-iHt}, \quad P(\mathbf r , t) = e^{iHt}p(\mathbf r , 0)e^{-iHt}, $$ donde $H$ es el total de hamilton. Ya que esta es la similitud de la transformación (y desplazamientos con $H$), el hamiltoniano es un funcional de $Q, P$ así como era funcional de $q, p$: $$ H[Q, P] = e^{iHt}H[q, p]e^{-iHt} = H[q, p] $$ A continuación, debido a la misma razón por la $Q, P$ obedece a las mismas relaciones canónicas $(0)$ y MOE $(2)$ libre de teoría de la $q, p$, pero con $H$ en lugar de $H_{0}$.