¿Qué puedo decir sobre la solución$y(x)$ de ODE?

Question

Deje $y:\mathbb R\to \mathbb R$ ser diferenciable y satisfacer la ODA: $$\frac{dy}{dx} =f(y),x\in\mathbb R$$ $$y(0)=y(1)=0$$

donde $f:\mathbb R\to \mathbb R$ es Lipschitz continua de la función. Entonces

1. $y(x)=0$ si y sólo si $x\in\ ${$0,1$}

2. $y$ es limitada

3. $y$ es estrictamente creciente

4. $\frac{dy}{dx}$ es ilimitado.

Tengo esta pregunta de un examen en papel, y no puedo entender cómo resolverlo. ¿Cómo debo usar la condición de Lipschitz de la continuidad de $f$ a resolverlo?

Por favor, ayudar.

Gracias de antemano.

Answer 1

Puede tratar de demostrar que, a partir de las condiciones y la singularidad, se sigue que$y(0+h)=y(1+h)$ y, por lo tanto, que$y$ es periódico. Lo cual es imposible para un ODE escalar de primer orden, excepto en una situación trivial.

Como no existe ninguna solución excepto la trivial, las propiedades de la misma son igualmente triviales.