Si un plano se cruza con una superficie regular en exactamente un punto, entonces es el plano tangente

Question

Pregunta

Vamos a una superficie, $S$, se cruzan de un avión, $P$, en un solo punto, $p_0 = (x_0, y_0, z_0)$$\mathbb{R}^3$. Demostrar que el plano coincide con el plano tangente a la superficie en $p_0.$

Comentarios

El problema parece tan fácil y sin pretensiones, sin embargo, he sido atrapado en él durante varios días. He venido para arriba con las pruebas, pero yo soy escéptico por alguna hasta el momento. Favor de proveer la primaria una prueba como sea posible. Nada más que cálculo multivariable y algunos de álgebra lineal (si es necesario). Tengo la sensación de que lo mejor puede ser resuelto por la contradicción, pero mi intento de no seguir esta estrategia.

Intento De Prueba

Deje $S$ ser un habitual de la superficie y $P$ ser un plano que pasa a través de $p_0$. Localmente, las superficies regulares puede ser representado por una función de $z=f(x,y)$. Por tanto, el plano tangente, $L(x,y)$, $S$ $p_0$ es \begin{align*} L(x,y) &= f(x_0, y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0). \end{align*} Por lo general, un plano, $P$, está dada por $$ A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0. $$ $$ \hat{n}\cdot(\bar{p}-\bar{p_0}) $$ donde $\hat{n} = (A,B,C)$ es el vector normal al plano y a $p=(x,y,z)$ es cualquier punto en el plano. Tenga en cuenta que desde $p$ está en el avión no puede estar en la superficie, por hipótesis.

Aquí es donde empiezo a atascarse. Ayuda sería apreciada.

Estoy seguro de que no es una simple manera de pensar, y de probarlo. Gracias

Answer 1

Después de la aplicación de un rígido movimiento a$S$$P$, podemos muy bien suponer $(x_0,y_0,z_0)=(0,0,0)$ $P$ $xy$- plano. Deje $U$ ser un pequeño barrio de la procedencia en $S$; tomando $U$ a ser lo suficientemente pequeño, se puede asumir que el $U$ es la imagen de un disco abierto en $\mathbb R^2$ bajo una parametrización local, y por lo tanto $U$ es homeomórficos a un disco. La hipótesis implica que el origen es el único punto de $U$ para que el $z$coordenada es cero, por lo $U\smallsetminus\{(0,0,0)\}$ está contenida en el conjunto donde $z\ne 0 $. Desde un disco de menos de un punto está conectado, se deduce que, o bien $z>0$ sobre todo $U\smallsetminus\{(0,0,0)\}$ o $z<0$ sobre todo $U\smallsetminus\{(0,0,0)\}$. Después de reflexionar en la $xy$-plano, se puede asumir que es $z>0$.

Ahora supongamos $v$ es un vector tangente a$S$, en el origen. A continuación, hay una curva suave $c:(-\varepsilon,\varepsilon)\to U$ satisfacción $c(0) = (0,0,0)$$c'(0) = v$. Si escribimos $c(t) = (x(t),y(t),z(t))$, podemos ver que $z(t)$ alcanza un mínimo en $t=0$, y por lo tanto $z'(0)=0$. Esto significa que cada vector tangente en el origen tiene cero $z$-coordinar, por lo $T_{(0,0,0)}S$ está contenida en el $xy$-plano (es decir, en $P$). Dado que tanto $T_{(0,0,0)}S$ $P$ son de dos dimensiones, que deben ser iguales.

Answer 2

Este es un asunto puramente local teorema. Podemos suponer que la $S$ es dado en la forma $$(x,y)\mapsto\bigl((x,y,f(x,y)\bigr)$$ donde $f$ $C^1$ en un barrio de $(0,0)$, y que además $$f(0,0)=f_x(0,0)=f_y(0,0)=0\ .$$ Por lo ${\bf 0}=(0,0,0)\in S$, y el plano tangente de $S$ ${\bf 0}$ es el avión $z=0$.

Supongamos ahora que tenemos un avión $$ax+by+cz=0,\qquad(a,b,c)\ne(0,0,0),\tag{1}$$ pasando a través de ${\bf 0}$, que es no el avión $z=0$. Esto implica que al menos uno de $a$, $b$ es $\ne0$; así que supongamos $b\ne0$. El punto de ${\bf 0}$ es una solución del sistema $$\eqalign{F(x,y,z):=\ \ \ \quad z-f(x,y) y=0\cr G(x,y,z):=\quad ax+by+cz&=0\ .\cr}\etiqueta{2}$$ Ahora la matriz $$\left[\matrix{F_y&F_z\cr G_y&G_z\cr}\right]_{\bf 0}=\left[\matrix{0&1\cr b&c\cr}\right]$$ ha determinante $\ne0$. El teorema de la función implícita, a continuación, garantiza la existencia de dos $C^1$funciones $x\mapsto\phi(x)$$x\mapsto\psi(x)$, definida en una vecindad de a $x=0$ y tomando el valor de$0$$0$, de tal manera que todos los puntos de $(x,y,z)$ de la forma $$\bigl(x,\phi(x),\psi(x)\bigr)$$ satisfacer el sistema de $(1)$. Pero esto es decir que el avión $(1)$ intersecta $S$ en una curva suave que pasa a través de ${\bf 0}\in S$.

Answer 3

Esta es una buena prueba?

Prueba: Vamos a $\vec{x}(u,v):U \rightarrow S$ ser una función de las coordenadas de $S$ y $$ p=\vec{x}(q), $$ donde $q = (u_0,v_0)$. Suponga que el avión $P$ está dado por $$ ax(u,v) + (u,v) + cz(u,v) + d = 0. $$ Supongamos, sin pérdida de generalidad, que el $d=0$, por lo que tenemos $$ ax(u,v) + (u,v) + cz(u,v) = 0. \etiqueta{1} $$ Desde $S$ cumple con el avión en el único punto $p$, $q=(u_0,v_0)$ satisface la ecuación. (1). Por otra parte, por la eq. (1) , podemos ver que $\vec{n} = (a,b,c)$ es ortogonal al plano de la $P$. Tomando las derivadas parciales de eq. (1) y de conectar $q$ da $$ ax_u(q) + by_u(q) + cz_u(q) = \vec{n} \cdot \vec{x}_u(q) = 0 $$ $$ ax_v(q) + by_v(q) + cz_v(q) = \vec{n} \cdot \vec{x}_v(q) = 0. $$ A continuación, $\vec{n}$ es ortogonal al plano generado por $\vec{x_u}(q) \wedge \vec{x_v}(q)$, es decir, $T_pS$. Desde $\vec{n}$ es ortogonal tanto a la $P$ y $T_pS$, $P$ y $T_pS$ son coincidentes.