Principio de continuación única

Question

Vamos no negativo de la función $u$ es una solución de $-\Delta u=\lambda u+u|u|^{2^*-2}$ $u=\frac{\partial u}{\partial\nu}=0$ $\partial\Omega$ donde $\lambda\leq0$, entonces u se desvanece de forma idéntica en $\Omega$ por el principio de la continuación única. Podría alguien explicar el principio de la continuación única?

u es suave en $\bar\Omega$. De hecho, estoy leyendo el libro "Vartiational métodos" por Struwe. La pregunta de la prueba de 1.3 Teorema en la página 171. Por Pohozaev de la identidad, se ha demostrado que la ecuación de $-\Delta u=\lambda u+u|u|^{2^*-2}$ $u=0$ $\partial\Omega$ no tiene soluciones no triviales.

Gracias de antemano.

Answer 1

Estoy siguiendo aquí la prueba dada por Struwe en su libro citado en los comentarios por OP.

Primero, considere el caso donde $\lambda <0$. En la página 172, Struwe concluye que $$2|\lambda|\int_\Omega |u|^2+\int_{\partial\Omega}\left|\frac{\partial u}{\partial \nu}\right|^2 x\cdot\nu=0 \tag{1}$$

Debido a $\Omega$ es una forma de estrella de dominio con respecto al origen, tenemos que $x\cdot\nu >0$ todos los $x\in \partial\Omega$. Por lo tanto, tanto en términos de$(1)$$0$, lo que implica en este caso que $u=0$ en casi todas partes.

Si $\lambda =0$, llegamos a la conclusión de $(1)$ que $\frac{\partial u}{\partial \nu}=0$ en casi todas partes en el límite.

Si hay un barrio $V$ $\partial\Omega$ tal que $u=0$$V$, entonces, por el principio único de continuación (ver comentarios a continuación, Pederson de papel), tenemos que $u=0$$\Omega$, por lo tanto, podemos suponer que el límite de uno de los siguientes conjuntos debe intersectar $\partial\Omega$.

Vamos $\Omega_+=\{x\in \Omega:\ u(x)>0\}$, $\Omega_-=\{x\in \Omega:\ u(x)<0\}$. Tenga en cuenta que

$$ \left\{ \begin{array}{ccc} -\Delta u>0 &\mbox{ in %#%#%} \\ u=0 &\mbox{ in %#%#%} \end{array} \right. $$

$$ \left\{ \begin{array}{ccc} -\Delta u<0 &\mbox{ in %#%#%} \\ u=0 &\mbox{ in %#%#%} \end{array} \right. $$

Supongamos por ejemplo, que es el conjunto de $\Omega_+$, por lo tanto, por Hopf del Límite de Lema, debemos tener la $\partial\Omega_+$$\Omega_-$, lo cual es un absurdo.

El último párrafo es directa a la conclusión de que la $\partial\Omega_-$$\Omega_+$, de hecho, aquí es donde debemos aplicar algún tipo de Principio de Continuación Única, es decir, si $\frac{\partial u(x)}{\partial\nu}\neq0$ en un conjunto abierto de $\partial\Omega\cap\partial\Omega_+$,$u=0$$\Omega$.

Observación 1: Este papel de Pucci y Serrin también contiene el resultado.

Observación 2: Usted ha dicho en la primera línea de tu pregunta que $u=0$. En este caso, la responderle de inmediato, así que creo que esto es un error tipográfico?