Sobre factorización

Question

Tengo algunos problemas de comprensión de la factorización.

Si tengo la expresión $x^{2}-x-7$, (me dijeron que como este) puedo poner esta expresión es igual a cero y, a continuación, encontrar las soluciones con la fórmula cuadrática, por lo que me da la $x_{0,1}= 1 \pm 2\sqrt{2}$ $$x^{2}-x-7 = (x-1-2\sqrt{2})(x-1+2\sqrt{2}).$$

Eso es correcto he comprobado.

Ahora, para la expresión de $3x^{2}-x-2$ si yo hago lo mismo que he a$x_{0} = 1$$x_1=\frac{-2}{3}$, así que tendría $$3x^{2}-x-2 = (x-1)(x+\frac{2}{3})$$ pero esto no es correcto desde $(x-1)(x+\frac{2}{3}) = \frac{1}{3}(3x^{2}-x-2)$,

la correcta factorización es $3x^{2}-x-2 = (3x+2)(x-1)$.

Así que supongo que encontrar las raíces de una ecuación cuadrática de la expresión no es suficiente para la factorización.

Answer 1

Mira lo que sucede cuando completamos el cuadrado:

$$\begin{array}{lll} ax^2+bx+c &=& \frac{1}{4a}(4a^2x^2 + 4abx + 4ac)\ &=& \frac{1}{4a}((2ax)^2 + 2b(2ax) + 4ac)\ &=& \frac{1}{4a}((2ax)^2 + 2b(2ax) +b^2-b^2+ 4ac)\ &=& \frac{1}{4a}((2ax+b)^2-(b^2 - 4ac))\ &=& \frac{1}{4a}((2ax+b)^2-\bigg(\sqrt{b^2 - 4ac}\bigg)^2)\ &=& \frac{1}{4a}(2ax+b+\sqrt{b^2-4ac})(2ax+b-\sqrt{b^2-4ac})\ &=& \frac{4a^2}{4a}\bigg(\frac{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\bigg)\bigg(\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\bigg)\ &=& a\bigg(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\bigg)\bigg(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\bigg)\ \end{matriz} $$

Answer 2

Factoring dice usted de las raíces, pero las raíces no describen ninguna función completamente, que es donde la discrepancia viene.

Lo que está pasando puede ser entendido tal vez el mejor de conspirar tanto de las funciones que se utilizan para representar las raíces, $3x^2 - x - 2$$(x-1)(x+\frac23)$:

Ambos pasan a través de$(-\frac23, 0)$$(1, 0)$, pero además de que están fuera de sincronización, de hecho, uno de ellos es simplemente un "estira" la versión de la otra, la curva azul se obtiene multiplicando el $y$-coordenadas de la curva de color rojo en cada punto por 3. La estancia alineados en 0 debido a que el $y$-coordinar hay 0--y, por supuesto, multiplicando 0 3 no hace ninguna diferencia.

De hecho, hay una infinidad de parábolas que comparten esas raíces, la familia de la que es indexado por el coeficiente de $a$ aludido por AndreNicolas arriba: $a(x-1)(x+\frac23)$.

Aquí son las curvas de $a = -5, \ldots, 5$:

---

Nota: en las Parcelas producidos mediante R, una variación en los siguientes:

xx <- seq(1/6 - 1.5, 1/6 + 1.5, length.out = 1000)
yy1 <- (xx - 1) * (xx + 2/3)
matplot(xx, yy <- sapply(aa <- c(-5:-1, 1:5), function(a) a * yy1),
        lty = 1, type = "l", lwd = 3, xlab = "", ylab = "",
        col = c("brown", "cyan", "green", "orange", "darkgrey",
                "red", "magenta", "blue", "orchid", "darkgreen"),
        ylim = range(yy[ , 3:8]),
        main = expression(paste(plain("Several values of "), a)))
abline(h = 0, v = 0, lwd = 1, col = "black")
text(1/6, yy[500,], labels = paste0("a = ", aa), pos=3)

Answer 3

La fórmula cuadrática sólo da las raíces de la ecuación, que son inalterables por el factor constante.

Que $\ P(x)=3x^{2}-x-2 \ \text{ and } \ Q(x) = x^2 -\frac{x}{3}-\frac{2}{3}$

Las raíces de los polinomios de ambos son iguales, como

$$\begin{align}3x^{2}-x-2&=0 \ \implies x^2 -\frac{x}{3}-\frac{2}{3}&=0\end{align}$$

$P(x)$ y $Q(x)$ difieren por un factor constante $3$, el coeficiente principal de $P(x)$.

$$P(x) = 3\times Q(x)$$

Answer 4

Para las ecuaciones de la forma $ax^2 + bx + c$ puede utilizar la ecuación cuadrática $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac }}{2a}$ a factor, como que estaba haciendo. El ajuste tiene que hacer es multiplicar su factorización por una.

En el ejemplo que había, $3x^2 -x - 2$, has encontrado las raíces son x = 1 y x $= \frac{-2}{3}$. Si haces $3*(x+\frac{2}{3})(x−1)$, entonces tienes (3x+2)(x−1) cuando multiplicas. Esto funciona en general. Espero que esto te sirva.

Answer 5

$3(x - 1)(x + {2 \over 3}) = (x -1)(3x + 2) = (3x - 3)(x + {2 \over 3}) =...$ etc. son válidos todos los factorización. El coeficiente inicial es sólo una constante.

Y si $(x - 1)(x + {2 \over 3}) = 0$$3(x - 1)(x + {2 \over 3}) = 0 = (x - 1)(x + {2 \over 3}) $.

Si usted está preocupado acerca de ir desde las raíces a la factorización piénsalo de esta manera:

Si las raíces de $P(x) = ax^n + ...... + c$$r_1, .... ,r_n$, entonces el polinomio factores como $a(x - r_1)(x - r_2).....(x - r_3) = P(x)$ o $(x - r_1)(x - r_2).....(x - r_3) = P(x)/a$. Cuando el ajuste 0 $a$ no importa como si $y = 0$ $a*y = 0$ también no importa lo que el $a$ es.

Resolución de 0, el $a$ se pierde. Va desde las raíces de la espalda, sólo tomamos $(x - r_i)$ por lo que el coeficiente resultante siempre será $1$. El polinomio resultante será $1/a$ de la original.