¿Podría mostrarme cómo resolver las siguientes ecuaciones diferenciales simultáneas? Traté de sustitución que $u=xt$, sin embargo, no pudimos encontrar la solución.
$$\frac{dx}{dt}t=-x+yt$$ $$\frac{dy}{dt}t=-2x+yt$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
$(tD+1)x=ty$ y $(tD-t)y=-2x$ así $\frac{1}{-2}(tD+1)(tD-t)y=ty$. Ahora substituya $y=t^r$ y encontrar una condición $r$ entonces puede derivar $x$. Esto es no un sistema de Cauchy Euler.
Añadido después de la respuesta Original pasado por alto un lamentable $t$: si escribimos $t\frac{dx}{dt}+x=yt$ y $t\frac{dy}{dt}+2x=yt$ entonces restando rendimiento: $$ t\frac{d}{dt}\left[ y-x \right]+x=0 $ $ $w=y-x$ por lo tanto, de dejar $y=w+x$ y nos encontramos con: $$ t\frac{dw}{dt}+x=0 \qquad \& \qquad t\frac{dx}{dt}+x=t(w+x) $ $ eliminación $x$ a través de rendimientos de $x=-t\frac{dw}{dt}$: %#% $ de #% creo que podemos resolver por el método de la serie, luego $$ t\frac{d^2w}{dt^2}+(2-t)\frac{dw}{dt}+w = 0. $ por lo tanto, podemos calcular y encontrar $x = -t \frac{dw}{dt}$ $y$.
Felix Marin
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$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}% \newcommand{\yy}{\Longleftrightarrow}$ Vamos a definir $$ \vec{r}\pars{t} \equiv {\,x\pars{t} \elegir \,y\pars{t}\,}\,, \quad Un \equiv \pars{% \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}}\,, \quad B \equiv \pars{% \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ -2 & 0 \end{array}}\,, \quad M\pars{t} \equiv Un + {B \t sobre} $$ El par de ecuaciones acopladas para $x\pars{t}$ $y\pars{t}$ puede ser escrito como $$ \totald{\vec{r}\pars{t}}{t} = M\pars{t}\vec{r}\pars{t} $$ Desde $\bracks{A,B} \not= 0$, se deduce que $\bracks{M\pars{t},M\pars{t'}} \not= 0$. En la Mecánica Cuántica, la solución está escrito como $$ \vec{r}\pars{t} = {\rm T}\exp\pars{-\int_{t_{0}}^{t}M\pars{t}\,\dd t'}\,\vec{r}\pars{t_{0}} \etiqueta{1} $$ donde$T$$\it\mbox{Dyson Chronological Operator}$. Es bien sabido que es una 'solución oficial'. Su verdadero significado es, en principio, de una infinita serie. Afortunadamente, en la Mecánica Cuántica, $M\pars{t}$ usualmente tiene las "buenas propiedades" que producen un agradable teoremas para manipular la Dyson orden. El feo de la tarea con Eq. $\pars{1}$ es que el $\bracks{M\pars{t}, M\pars{t'}} \not= 0$. Ver muchos-la física de cuerpos de libros de texto. Por ejemplo, este uno.
