Maximizar la distancia entre su centro y una línea normal a una elipse

Question

Mi amigo me envió este problema, que (después de Google) parece ser de una Cornell clase (1220?). Anywho.

Mi consejo para él fue definir parámetros de la elipse (es decir, en el primer cuadrante) con
$x = a \cos(t); y = b \sin(t)$, encontramos líneas normales, a continuación, utilizar la fórmula para la distancia entre un punto y una línea. Pero luego empecé a preguntarme:

Hay una manera mejor? (También, este método incluso conducir a una solución?!?)

Answer 1

La misma distancia máxima se produce en cada uno de los cuadrantes, por lo que se puede restringir la atención a $t\in[0,\pi/2]$. El vector tangente a $t$$(-a\sin t,b\cos t)$. Este vector es perpendicular a la línea, así que sólo tenemos que tomar el producto escalar de un vector unitario en esta dirección con el vector de posición con el fin de encontrar la distancia del origen a partir de la línea:

$$ \begin{eqnarray} D &=& \left\lvert\frac{(-a\sin t,b\cos t)}{\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}\cdot(a\cos t,b\sin t)\right\rvert \\ &=& \frac{(a^2-b^2)\sin t\cos t}{\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}\;. \end{eqnarray}$$

Diferenciando con respecto a $t$ rendimientos

$$\frac{a^2\sin^4 t-b^2\cos^4t}{\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)^{3/2}}\;,$$

y el ajuste a cero de los rendimientos

$$a^2\sin^4t=b^2\cos^4t\;,$$

$$t=\arctan\sqrt{\frac ba}\;.$$

El uso de $\cos t=1/\sqrt{1+\tan^2 t}$, podemos evaluar la $D$ en este parámetro:

$$ \begin{eqnarray} D &=& \frac{(a^2-b^2)\sin t\cos t}{\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}} \\ &=& \frac{(a^2-b^2)\tan t}{\sqrt{a^2\tan^2t+b^2}}\cos t \\ &=& \frac{(a^2-b^2)\tan t}{\sqrt{a^2\tan^2t+b^2}}\frac1{\sqrt{1+\tan^2 t}} \\ &=& \frac{(a^2-b^2)\sqrt{b/a}}{\sqrt{a^2(b/a)+b^2}}\frac1{\sqrt{1+b/a}} \\ &=& \frac{a^2-b^2}{a+b}\;. \\ &=& a-b\;. \end{eqnarray}$$

El resultado, obviamente, apoya su idea de que puede ser una manera más simple de hacer esto.

Answer 2

Empujando el OP de la sugerencia.

1. La tangente en el punto de $P = (a \cos t, b \sin t)$ está dado por $b \cos t x + a \sin t y = ab$.

2. La normal en $P$ está dado por $a \sin t \ x - b \cos t \ y = (a^2-b^2)\sin t \cos t$.

3. La distancia del origen de la normal está dado por la fórmula: $$ D :=\frac{|(a^2 - b^2) \sen t \cos t|}{\sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t}} = \frac{|a^2 - b^2|}{\sqrt{\frac{a^2}{\cos^2 t} + \frac{b^2}{\sin^2 t}}}. $$

4. No queda obligado a la distancia $D$. Por Cauchy-Schwarz, tenemos $$ \sqrt{(\cos^2 t + \sin^2 t)\left( \frac{a^2}{\cos^2 t} + \frac{b^2}{\sin^2 t} \right)} \geq (a+b). $$ Usando la desigualdad (y tomando nota de que $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$), la distancia puede ser superior delimitada por $$ D \leq \frac{|a^2 - b^2|}{a+b} = |a-b|. $$ Es claro que la igualdad se alcanza sobre al $\frac{a}{\cos^2 t} = \frac{b}{\sin^2 t}$; por ejemplo, para $t = \arctan \sqrt{\frac{b}{a}}$ (centrarse sólo en el cuadrante positivo).