En la teoría de grupos, ¿es verdad que$f(X \vee Y) = f(X) \vee f(Y)$?

Question

($\vee$ denota join ).

Permitir que$G$ y$H$ indiquen grupos abelianos,$X$ y$Y$ denotan subálgebras de$G$, y permitan que$f : G \rightarrow H$ denote un homomorfismo. Entonces:

ps

Asi que $$f(X \vee Y) = f(X+Y) = f(X)+f(Y) = f(X) \vee f(Y)$.

Ahora supongamos que relajamos nuestras condiciones, de modo que$f(X \vee Y) = f(X) \vee f(Y)$ y$G$ ya no se consideren abelianos.

Pregunta. ¿Todavía es demostrable que$H$?

Answer 1

Que tenemos $f(X\vee Y)\subseteq f(X)\vee f(Y)$ debe ser clara (la imagen de un producto de los elementos de la $X$ o $Y$ es un producto de los elementos de la $f(X)$ o $f(Y)$).

En el otro sentido, vamos a $g\in f(X)\vee f(Y)$. A continuación, $g=g_1\cdot\cdots\cdot g_n$ donde $g_i\in f(X)$ o $g_i\in f(Y)$. Por lo tanto cada una de las $g_i$ es de la forma $f(x_i)$ donde $x_i\in X$ o $x_i\in Y$. Por lo tanto podemos reescribir $g=f(x_1\cdot\cdots\cdot x_n)$. Por lo tanto $g\in f(X\vee Y)$.

Este enfoque puede ser generalizado para conjuntos arbitrarios de los subgrupos, ya que no importa que $\{X,Y\}$ es una colección finita. La única cosa que era importante era que los elementos eran de un número finito de producto de otros elementos. Por lo tanto para cualquier colección de subgrupos $\cal S$$G$,$f(\bigvee_{S\in\cal S} S)=\bigvee_{S\in\cal S}f(S)$.

La doble pregunta es, sin embargo falsas. En general, no tenemos que $f(X\wedge Y)=f(X)\wedge f(Y)$ arbitrarias de los subgrupos $X$$Y$, específicamente la inclusión $f(X)\wedge f(Y)\leq f(X\wedge Y)$ no necesita tener (la otra inclusión es siempre). Yo estaba teniendo problemas para encontrar un contraejemplo, así que le pregunté aquí donde Marcin Łoś dio un contraejemplo en los comentarios. Así, en general, un grupo de homomorphism ¿ no inducir un entramado homomorphism entre el subgrupo de celosías.

Sin embargo, si $f$ es un cociente de mapa (o surjective por el 1er teorema de isomorfismo), el 4 de isomorfismo teorema nos da alguna relación entre el subgrupo de las intersecciones.

Answer 2

Aquí es como yo lo veo (sin referencia a los "sucios" producto de las representaciones).

Si hacemos un orden en el entramado de los subgrupos de $G$ por la inclusión, a continuación,$H \vee K = \langle H,K\rangle$, el subgrupo generado por el conjunto de $H \cup K$. Por definición, este es el más pequeño subgrupo de (a través de nuestro orden parcial) de $G$ que contiene tanto $H$$K$.

Ahora para cualquier función de $f:A \to B$ si $X \subseteq Y \subseteq A$, ciertamente tenemos: $f(X) \subseteq f(Y)$.

Homomorphisms son funciones, por lo que tenemos $f(H) \subseteq f(\langle H,K\rangle)$, y del mismo modo para $f(K)$ (desde $H,K \subseteq \langle H,K\rangle$).

Esto demuestra que $\langle f(H),f(K)\rangle \subseteq f(\langle H,K\rangle)$, por minimality (hay un oculto "apelación" de aquí al hecho de $f$ es un homomorphism, por lo que podemos concluir $f(\langle H,K\rangle)$ es un grupo, como de nuestra propiedad de "más pequeño subgrupo que contiene el set de generación de energía" sólo se aplica a los elementos del subgrupo de celosía, no arbitraria de subconjuntos de a $f(G)$).

Ahora supongamos $L$ es CUALQUIER subgrupo de $f(G)$ contiene $f(H)$$f(K)$. De ello se desprende que $f^{-1}(L)$ es un subgrupo de $G$ contiene $H$ $K$ (esto es, nuevamente, cuando invocamos el hecho de que $f$ es un homomorphism), así:

$\langle H,K\rangle \subseteq f^{-1}(L)$

Por lo tanto $f(\langle H,K\rangle) \subseteq f(f^{-1}(L)) = L$.

Desde $\langle f(H),f(K)\rangle$ es un subgrupo, tenemos: $f(\langle H,K\rangle) \subseteq \langle f(H),f(K)\rangle$, y la igualdad se establece.