Ejercicio sobre la diagonalización de la matriz

Question

Bueno, tengo que diagonalizar esta matriz:

$$ \begin{pmatrix} 5 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & -1 \\ -1 & 0 & 5 \end {pmatrix} $$

Encuentro que la bruja del polinoma es$P=-(\lambda-4)^2(\lambda-6)$

¡Ahora quiero saber los eignevectors así que resuelvo$AX=4X$ y$AX=6X$ con$X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ pero tengo un problema con el primer sistema!

En la corrección dicen "después de un cálculo elemental tenemos$E_4=Vect\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right)$"

Y no sé cómo ni por qué porque con mi sistema solo encuentro$x=z$

¿Puedes explicarme por favor?

Answer 1

Su solución es la correcta:$x=z$ significa que cada vector que es la solución para su sistema tiene que ser de la forma $$ v = \begin{pmatrix} x\\ y \\ x\end {pmatrix} $$ donde$x,y$ están ahora "libres" "coeficientes en el campo del espacio vectorial, por lo que puede escribir eso como $$ v = x \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 1\end {pmatrix} + y \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end {pmatrix} $$ Esto significa que el espacio vectorial de las soluciones (es decir, eigenspace$E_4$) está distribuido por el conjunto $$ \ left \ {\begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 1\end {pmatrix}, \ \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end {pmatrix} \ right \}. $$

Answer 2

El sistema$AX=4X$ es equivalente al sistema$(A-4I)X=0$, es decir,

$$ \ left (\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end {array} \ right) \ left (\begin{array}{c}x \\ y \\ z \end {array} \ right) = \ left (\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0 \end {array} \ right) \ \. $$

Después de reducir esta matriz, obtienes

ps

y, como habrás notado, esto lleva a la solución

ps

Este subespacio se puede ver como

ps

y el último es exactamente

ps

Answer 3

Calculó correctamente. El conjunto de todos los vectores propios de valor propio$4$ es un% subespacio dimensional$2$. La condición$x = z$ es equivalente a todas las matrices de la forma $$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ x \end {pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ x \end {pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ 0 \end {pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix}, $$ donde$x,y \in \Bbb{R}$. Esta es tu base.

Answer 4

Cuando el polinomio característico tiene una doble raíz, como es el caso aquí, encontrará que hay infinitos muchos vectores propios que corresponden a este valor propio, pero que todos estos vectores propios se encuentran en un plano. Por lo tanto, puede elegir dos vectores independientes, es decir, no paralelos que sean paralelos a este plano, para que sean vectores propios, como se sugiere en la corrección.