¿Cómo se definen las longitudes de las tuplas si k-tuplas son pares?

Question

En el libro "Set Theory And Logic" leí la siguiente frase:

La triple ordenada x, y, z, simbolizada por (x, y, z), se define como el par ordenado ((x, y), z).

Le site página de la wikipedia sobre tuplas también menciona la misma definición.

A mí esto me parece absurdo, ya que en ese caso una 3-tupla es también una 2-tupla, por lo que realmente ya no tendría sentido hablar de la longitud de una tupla.

Como acabo de empezar, supongo que soy yo quien no lo ve claro. Por favor, ábreme los ojos.

Answer 1

Peor aún, se puede definir el par ordenado $(a,b)$ como el conjunto $\{\{a\},\{a,b\}\}$ . Nótese que con esta definición (¿o debería decir: construcción?), ni siquiera se puede decir que un par ordenado tenga siempre dos elementos: Si $a=b$ tenemos $(a,a)=\{\{a\},\{a,a\}\}=\{\{a\},\{a\}\}=\{a\}$ . ¿Y qué? El esencia de la noción de par ordenado es que $$\tag1(a,b)=(c,d)\quad\text{if and only if}\quad a=c\text{ and }b=d,$$ y esta esencia está fielmente representada por la definición anterior. Se podrían hacer definiciones totalmente diferentes de pares ordenados que también tuvieran esta propiedad, por lo que cabría preguntarse cuál de ellas es realmente ¿un par ordenado? Bueno, ninguno "lo es". El único propósito de definiciones como la anterior es asegurarnos de que nuestro fundamento (aquí: la teoría de conjuntos) consigue garantizarnos que las extrañas propiedades que exigimos a la noción de par ordenado no son patrañas. Una vez definidos, seguimos confiando únicamente en las propiedades definitorias $(1)$ . Una pregunta como si $(a,b)=42$ entonces ni siquiera tiene sentido (aunque puede suceder que cosas supuestamente indefinidas/no sensatas como $(0,1)\cup 1=3$ son accidentalmente verdadero como "efecto secundario" no deseado con una posible definición de par ordenado y falso con otra).

Lo que realmente queremos es ampliar nuestro lenguaje . La teoría de conjuntos sólo sabe hablar de conjuntos, no de pares ordenados. ¿Podemos trabajar coherentemente con una teoría de conjuntos y pares ordenados si sólo confiamos en la teoría de conjuntos? Definiciones como las anteriores son la mitad del trabajo necesario para responder afirmativamente a esta pregunta. Para una satisfacción completa tenemos que hacer que los conjuntos que utilizamos para representar pares ordenados difieran de todos los conjuntos "ordinarios". Por ejemplo, observamos que $\emptyset\notin\{\{a\},\{a,b\}\}$ ; por lo que si sustituimos todos los demás conjuntos $x$ con una versión "etiquetada $F(x):=\{\emptyset,\{x\}\}$ o más bien recursivamente $F(x):=\{\emptyset,\{\,F(y)\mid y\in x\,\}\}$ y redefinir operaciones de conjunto como $\cup,\cap,\setminus$ e incluso el $\in$ ( $x\in'y:\leftrightarrow \emptyset\in y\land \exists z\colon x\in z\in y$ ) alcanzamos nuestro objetivo: Hicimos que los conjuntos se comporten como antes, que los pares ordenados se comporten como deben, podemos distinguir entre pares y conjuntos, podemos tener pares como elementos de conjuntos, conjuntos como componentes de pares, etc. Todo esto es un tecnicismo espantoso. Normalmente, lo dejamos en una definición de par ordenado como la del primer párrafo y en adelante no usamos esta definición en absoluto -en su lugar, usamos sólo la propiedad definitoria $(1)$ . Esto puede considerarse una abreviatura semiformal de la construcción técnica descrita más arriba.

Lo mismo ocurre con los triples y los $n$ -tuplas en general: Queremos $(a,b,c)=(d,e,f)$ si $a=d$ y $b=e$ y $c=f$ y como ya sabemos que los pares ordenados tienen propiedades similares, definiendo $(a,b,c):=((a,b),c)$ tiene el efecto deseado. Desgraciadamente, tal definición es asimétrica y tiene consecuencias tales como $A\times B\times C=(A\times B)\times C\ne A\times (B\times C)$ . Seguimos teniendo una biyección canónica entre $(A\times B)\times C$ y $A\times (B\times C)$ pero a la izquierda tenemos "accidentalmente" la igualdad real. Esto último se deduce únicamente de la definición específica de triple, no de la propiedad definitoria - por ejemplo, con $(a,b,c):=(a,(b,c))$ la situación sería diferente. Así que, una vez más debe realizar la construcción técnica descrita anteriormente para comprobar que la extensión deseada de nuestro lenguaje es viable. En su lugar, echamos un vistazo a la definición una vez y en adelante utilizamos sólo la propiedad definitoria.

Si pasamos por todos los tecnicismos. podría garantizar que un triple $(a,b,c)$ es en realidad diferente de todos los pares (incluidos los pares anidados como $((a,b),c)$ y $(a,(b,c))$ ) (así como de todos los conjuntos "ordinarios"). Y en tal situación no sería problemático que quisiéramos la longitud de $(a,b,c)$ ser $3$ mientras que la longitud de $((a,b),c)$ o $(a,(b,c))$ es $2$ .

Answer 2

Hay más de una forma de definir una tupla (o, mejor dicho, de "codificar una tupla en la teoría de conjuntos"). Podríamos utilizar cualquier definición de 3-tupla que satisfaga la propiedad $(x_0,x_1,x_2)=(y_0,y_1,y_2)\iff$ $\forall i, x_i=y_i$ (que su definición claramente hace)-y de manera similar para $n$ -tuplas en general.

Esta definición particular tiene el inconveniente de que el conjunto correspondiente a la 2-tupla $((x,y),z)$ es igual al conjunto correspondiente a la tripleta $(x,y,z)$ ; en algunas aplicaciones, podemos querer que tuplas de longitudes diferentes sean siempre desiguales. Es este inconveniente el que hace imposible definir la longitud de una tupla.

Existen otras formas de codificar una tupla en la teoría de conjuntos que no presentan este inconveniente. Por ejemplo (utilizando la definición estándar de Kuratowski $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$ para la 2-tupla) podríamos definir: \begin{align} (x,y,z)&:=\{(0,x),(1,y),(2,z)\}\\ (x,y,z,w)&:=\{(0,x),(1,y),(2,z),(3,w)\}\\ \rm etc. \end{align} (La 2-tupla rompería ese patrón, por desgracia, aunque supongo que podríamos redefinirla para que encajara). La longitud, entonces, sería simplemente el número de elementos, y ninguna 2-tupla sería nunca igual a una 3-tupla.

En la práctica, no hay que preocuparse de cómo codificar un objeto matemático en la teoría de conjuntos para poder utilizarlo. (Un ejemplo: la teoría de categorías).

Answer 3

Se podría definir la longitud de una 2-tupla como la longitud del primer elemento del par más la longitud del segundo elemento del par. La longitud de una 1-tupla se define como 1. (una definición recursiva)

Así que para $((x,y),z)$ la longitud es 3. En efecto, la longitud de $(x,y)$ (el primer elemento del par) es 1 + 1 (longitud del primer elemento del par $(x,y)$ + longitud del segundo elemento del par $(x,y)$ ). y la longitud de $z$ es 1. entonces 1+1+1 = 3