¿Por qué esta es la respuesta?

Question

Una feria es suertes $n$ tiempos de Adam y $n$ por Andrew. ¿Cuál es la probabilidad de que obtienen el mismo número de cabezas?

¿Ahora ya hay que un total de $2n$ voltea, $n$ de cada persona, tendríamos que elegir $k$ flipa que ambos tienen cabezas correcto? Así ya que es un binomio $\sim (2n,\frac12)$ llegué a encontrar que tenemos $${2n \choose k }\left(\frac12\right)^{2n}$$ However my textbook says it differently. I'm wondering why the book says it is: $${2n \choose n }\left(\frac12\right)^{2n}$$ Is it the same thing? I'm just confused as to why it would say choose $n$. ¿Debería ser asumir suponer que la mitad de los flips total va a ser el mismo?

Answer 1

La siguiente solución tiene una cantidad mínima de cálculo, pero puede requerir una cierta concentración.

Llame a nuestros dos jugadores Alicia y Beti. Se obtiene el mismo número de cabezas de iff para algunos $k$, cada uno de ellos consigue $k$ cabezas.

La probabilidad de que Beti consigue $k$ cabezas es la misma que la probabilidad de Beti consigue $k$ colas, así que es la misma que la probabilidad de que Beti consigue $n-k$ cabezas.

Por lo que la probabilidad de que se obtiene el mismo número de caras es igual a la probabilidad de que entre ellos se consigue un total de $n$ cabezas.

La probabilidad de que cuando se lanza una moneda $2n$ veces llegamos $n$ cabezas es $$\binom{2n}{n}\frac{1}{2^{2n}}.$$

Answer 2

Cuál es la cantidad que usted está llamando "$k$"?

Si $k\in\{0,1,2,\ldots,n\}$, entonces la probabilidad de que ambos se obtiene exactamente $k$ cabezas $\dbinom n k ^2 \left(\dfrac12\right)^{2n}$.

Por lo que la probabilidad de que existe algún valor de a $k$ en el conjunto para el cual pueden obtener excatly $k$ cabezas es $$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 \left(\frac12\right)^{2n}. $$

Si expande esto como $$ \left(\binom n 0 ^2 + \binom n 1 ^2 + \binom n 2 ^2 + \cdots + \binom n n ^ 2\right)\left(\frac12\right)^{2n} $$ entonces usted no ve ningún número que se llama "$k$" en el que la expresión, en la que la respuesta depende. No hay tal cosa.

La siguiente es la pregunta de ¿por qué $$ \binom n 0 ^2 + \binom n 1 ^2 + \binom n 2 ^2 + \cdots + \binom n n ^ 2 = \binom{2n}{n}. $$ Creo que esa pregunta ha sido publicado aquí un par de veces. He aquí una manera de ver que: Usted e busca el número de formas de elegir los $n$ de las cosas de la $2n$, por lo que dividir el conjunto de $2n$ en dos conjuntos de tamaño $n$. El número de formas de seleccionar $k$ cosas desde el primer set y $n-k$ desde el segundo es $\dbinom n k\dbinom n{n-k}$ $=\dbinom n k \dbinom n k$. Ahora añadir que a lo largo de todos los posibles valores de $k$.