Calcular el límite

Question

Considere una ecuación $$ \tan (x) = \frac{a x} {x ^ 2 + b} $$ donde $a,b \neq 0$. Trazar $\tan(x)$ y función en el lado derecho podemos ver que esta ecuación tiene infinitamente muchas soluciones positivas $x{n}$ y $x{n} \sim \pi n$ $n \to \infty$, es decir, $$ \lim\limits{n \to \infty} \frac{x{n}}{n} = \pi. ¿$$ Pero es posible mostrar la analitically de esta última igualdad?

Answer 1

Sin pérdida de generalidad podemos asumir que $a>0$. Asumir que $x$el % es "suficientemente grande" dependiendo del $a,b$. Entonces $\frac{a x}{x^2+b}$ está disminuyendo terminantemente en $(x_0,\infty)$ modo cumpla $\tan(x)$ exactamente uno de lo intervalos $(n\pi,n\pi+\pi/2)$. Denotan por $xn$. Entonces $\lim{n\to\infty} xn=\infty$. Además $\lim{n\to\infty} \frac{a x_n}{xn^2+b}=0$. Implica $\lim{n\to\infty}\tan(x_n)=0$. Por lo tanto, $x_n-n\pi=o(1)$. De este $\frac{x_n}{n}=\pi+o\left(\frac{1}{n}\right)$.