Demostrar eso si , entonces

Question

Supongamos que$A$ es una matriz con entradas reales no negativas. Si$A^tA = AA^t$, muestra que$A=A^t$.

Mi prueba dice:$AA^t = A^tA = (AA^t)^t$. Parece que no puedo llegar al punto de$A=A^t$

Editar: ¿Qué pasa si$A$ es una matriz$2x2$?

Answer 1

No creo que la afirmación es verdadera, para empezar. Normal de la matriz no es necesariamente simétrica. Considerar $$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

Las entradas de $A$ consta de sólo 0 y 1, que son claramente no negativo. Tenemos $$AA^t=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}=A^tA$$

Pero $A_{31} \neq A_{13}$$A^t \neq A$.

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Para un $2\times2$ matriz, supongamos que $$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}$$

A continuación, $AA^t=A^tA$ implica $b^2=c^2$ (arriba a la izquierda de la entrada de producto de la matriz), y desde $b$ $c$ son no negativos, se deduce que el $b=c$ e lo $A=A^t$.

Answer 2

Si nos limitamos a$2\times 2$ matrices, let$$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}.$$ Then $ A ^ TA = AA ^ T $ implica que$$A^TA = \begin{bmatrix}a^2+c^2& ab + cd\\ab + cd& b^2 + d^2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a^2 + b^2& ac + bd\\ ac + bd & c^2+d^2\end{bmatrix} = AA^T.$ $ Por lo tanto,$$b^2 = c^2$$ and $$ac+bd = ab+cd.$ $ Dado que$A$ tiene entradas no negativas, la primera ecuación implica que$b=c$ y, por lo tanto, que$A=A^T$.

Answer 3

Con lo que respecta a $2 \times 2$ matrices:

El Perron-Frobenius teorema implica que cualquier valor no negativo de la matriz tiene un real positivo autovalor. Desde el complejo de valores propios de la real matrices vienen en pares, podemos concluir que todos los no-negativo $2 \times 2$ matriz tiene sólo real de los autovalores.

Nosotros, a continuación, tenga en cuenta que si una matriz tiene real de los autovalores, entonces es normal (satisface $AA^T = A^TA$) si y sólo si a es simétrica (satisface $A = A^T$).

De ello se desprende que un no-negativo $2\times 2$ matriz es simétrica si y sólo si es normal, que fue el resultado deseado.