Prueba de que los grupos multiplicativos $\mathbb{R} - \{0\}$ y $\mathbb{C} - \{0\}$ no son isomorfos.

Question

¿Es correcta mi prueba de la pregunta en el título?

Tenga en cuenta que $\mathbb{R} - {0} \subset \mathbb{C} - {0}$, puesto que cada número real es un número complejo. Por lo tanto, puesto que cualquier $\phi: \mathbb{R} - {0} \to \mathbb{C} - {0}$ mapa de un conjunto a otro conjunto de cardinalidad mayor, no hay tal $\phi$ puede ser sobreyectiva. Por lo tanto, ningún isomorfismo existente entre lo grupos multiplicativos $\mathbb{R} - {0}$ y $\mathbb{C} - {0}$.

Answer 1

Lema: si$X\cong Y$ a través de$f:X\to Y$, entonces$x$ y$f(x)$ tienen el mismo orden.

Sugerencia: ¿Cuál es el orden de$i$? ¿$\mathbb{R}-0$ Tiene un elemento con este orden?

Answer 2

Si$f$ es un isomorfismo entre$(C-0,\times)$ y$(R-0,\times)$,$f(i)^2=-1$ imposible

Answer 3

En general, $$t(R^*,\cdot)=\{+1,-1\}\neq t(C^*,\cdot)=\{\exp(2ki\pi/n)|k,n\in \mathbb{Z}\}$$ $t (G)$ significa el subgrupo de torsión.

Answer 4

Se corrigió$p \not= 2$ prime, se toma todo el complejo$p$ - th roots de$1$. Es un subgrupo de orden$p$, y cada elemento tiene así orden$p$ (exept 1). Por el contrario, no hay elementos de orden$p$ en los números reales, y ningún subgrupo de orden$p$.