Debo calcular $\displaystyle \frac{\partial{f}}{\partial{x}}$ y $\displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{y}}$ $f(x,y)=\displaystyle\frac{4 \cdot \pi^2 \cdot x}{y^2}$. $$\displaystyle \frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\frac{4 \cdot \pi^2}{y^2}$$ $% $ $\displaystyle \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{-8 \cdot \pi^2 \cdot x}{y^3}$¿Es correcto? ¡Gracias de antemano!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como se trata de una tarea, nos permiten utilizar las definiciones de las derivadas parciales para comprobar los resultados, que normalmente se obtiene rápidamente siguiendo la regla de "mantener todos los fijos, excepto para la variable w.r.t. calcular la derivada parcial y el uso de los resultados de Análisis I/Cálculo".
Entonces
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y):=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{4\pi^2}{y^2h}(x+h-x)= \frac{4\pi^2}{y^2}.$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y):=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{4\pi^2x}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{y^2}\right)= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{4\pi^2x}{h}\left(\frac{h(-2y-h)}{y^2(y+h)^2}\right)= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{4\pi^2x(-2y-h)}{y^2(y+h)^2}=\frac{-8\pi^2x}{y^3}.$$
Los cálculos en la OP son correctos.
