Permita que$M$ sea un% finito generado $A$- module y$\mathfrak{p}\subset A$ ideal ideal. ¿Es cierto que$\operatorname{Supp}_A M_{\mathfrak{p}}$ es el cierre de$\operatorname{Supp}_{A_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}} \subset \operatorname{Spec}A$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
jplindstrom
Puntos
223
Yo reclamo:
$$\mbox{Supp}_AM_{\mathfrak{p}}\subset\mbox{Cl}_{\mbox{ Spec} A}(\mbox{Supp}_{A_{\mathfrak{p}}}M_{\mathfrak{p}}),$$ eqaulity si $M$ f.g. y tiene sólo un número finito asociada mínima de los números primos dentro de $\mathfrak{p}$ (por ejemplo, si $M$ es Noetherian).
Prueba :
$\Rightarrow$ : Vamos a $\mathfrak{q}\in\mbox{Supp}_AM_{\mathfrak{p}}$, por lo que el $(M_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{q}}\neq0$. Hay un $\mathbb{Z}$-módulo \iso\ $(M_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{q}}\simeq U^{-1} M$ donde $U=(A\backslash\mathfrak{p})(A\backslash\mathfrak{q})$. Por Lo Tanto $\mbox{Ass}_{U^{-1} A}U^{-1} M\neq\emptyset.$ Desde $\mbox{Ass}_{U^{-1} A}U^{-1} M\subset\mbox{Supp}_{U^{-1} A}U^{-1} M$, $\mbox{Supp}_{U^{-1} A}U^{-1} M\neq\emptyset$. Deje $\mathfrak{r}\in\mbox{Supp}_{U^{-1} A}U^{-1} M$. $$\mbox{Supp}_{U^{-1} A}U^{-1} M=\mbox{Supp}_AM\cap\mbox{Spec} U^{-1} A,$$ so $\mathfrak{r}\cap U=\emptyset$, which implies $\mathfrak{r}\subset\mathfrak{p}\cap\mathfrak{q}$. Thus $\mathfrak{r}\subset\mathfrak{q}$ and $\mathfrak{r}\in\mbox{Supp}_{A_{\mathfrak{p}}}M_{\mathfrak{p}}$, so $\mathfrak{q}\en V(\carpeta cap_{\mathfrak{r}\\mbox{ Supp}_{A_{\mathfrak{p}}}M_{\mathfrak{p}}}\mathfrak{r})=\overline{\mbox{Supp}_{A_{\mathfrak{p}}}M_{\mathfrak{p}}}$. Hence, $\mbox{Supp}_AM_{\mathfrak{p}}\subset\overline{\mbox{Supp}_{A_{\mathfrak{p}}}M_{\mathfrak{p}}}$.
$\Leftarrow$ : Supongamos $\mathfrak{q}\in\overline{\mbox{Supp}_{A_{\mathfrak{p}}}M_{\mathfrak{p}}}$. $$\overline{\mbox{Supp}_{A_{\mathfrak{p}}}M_{\mathfrak{p}}}=V(\cap_{\mathfrak{r}\in\mbox{ Supp}_{A_{\mathfrak{p}}}M_{\mathfrak{p}}}\mathfrak{r})=V(\cap_{\mathfrak{r}\in\mathcal{M}}\mathfrak{r}),$$ donde $\mathcal{M}$ es el conjunto de un mínimo de asociados de los números primos de $M$ dentro $\mathfrak{p}$. Por lo tanto, si $|\mathcal{M}|<\infty$, $\mathfrak{r}\subset\mathfrak{q}$ algunos $\mathfrak{r}\in\mathcal{M}$, y desde $$\mathfrak{r}\in\mbox{Ass}_AM\subset\mbox{Supp}_AM=V(\mbox{ann} M),$$ $\mbox{ann}_A M\subset\mathfrak{r}$. Si $(M_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{q}}=0$ e si $M$ es f.g., luego hay $s\not\in\mathfrak{p}$, $t\not\in\mathfrak{q}$ tal que $st\in\mbox{ann}_AM$, por lo tanto $st\in\mathfrak{r}$. Pero $\mathfrak{r}\subset\mathfrak{p}\cap\mathfrak{q}$, lo $st\not\in\mathfrak{r}$, una contradicción. Por lo tanto, $(M_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{q}}\neq0$, e $\mathfrak{q}\in\mbox{Supp}_AM_{\mathfrak{p}}$. Por lo tanto $\overline{\mbox{Supp}_{A_{\mathfrak{p}}}M_{\mathfrak{p}}}\subset\mbox{Supp}_AM_{\mathfrak{p}}$.
