¿Cómo extender un isomorfismo genérico a un isomorfismo fuera de un número finito de primos?

Question

Dejemos que $X,X'$ ser normal, propio y plano $\mathbb{Z}$ -esquemas. Escriba $X_{\mathbb{Q}}$ para la fibra genérica de $X$ es decir $X_{\mathbb{Q}}:=X \times_{Spec (\mathbb{Z})} Spec (\mathbb{Q})$ .

Supongamos que existe un isomorfismo $X_{\mathbb{Q}}\cong X'_{\mathbb{Q}}$ de $\mathbb{Q}$ -esquemas. El siguiente hecho parece ser bien conocido:

Existe un conjunto finito de números primos $\Sigma=\{p_1,...,p_{n}\} \subset \mathbb{Z}$ tal que el isomorfismo (genérico) anterior se extiende a un isomorfismo de $\mathbb{Z}(\Sigma^{-1})$ -(donde $\mathbb{Z}(\Sigma^{-1}):=\mathbb{Z}[p_{1}^{-1},...,p_{n}^{-1}]$ ), es decir, tenemos

$$X \times_{Spec(\mathbb{Z})} Spec(\mathbb{Z}(\Sigma^{-1})) \cong X' \times_{Spec(\mathbb{Z})}Spec(\mathbb{Z}(\Sigma^{-1}))$$

¿Puede alguien darme una referencia para esta afirmación o, si parece razonable, incluso un (esbozo de) prueba?

Answer 1

El morfismo $X_{/\mathbb Q} \to X'_{\mathbb Q}$ en última instancia, implica algunos polinomios explícitos, que sólo tienen un número finito de primos en los denominadores de sus coeficientes, por lo que pueden extenderse sobre $X_{\mathbb Z(\Sigma^{-1})}$ para un conjunto de primos suficientemente grande (pero finito) $\Sigma$ .

Lo mismo ocurre con el mapa en la otra dirección (ampliando $\Sigma$ si es necesario). Dado que el compuesto de los resultante es la identidad genéricamente, tendrá que ser la identidad (por ejemplo, por planitud).

Si quieres un argumento más formal, puedes hacer lo siguiente deje $f: X_{\mathbb Q} \to X'_{\mathbb Q}$ sea el morfismo dado y formar su gráfico $\Gamma_f \subset (X \times_{\mathbb Z} X')_{\mathbb Q}$ . Ahora está cerrado $\Gamma_f$ en $X\times_{\mathbb Z} X'$ . El resultado es un subesquema cerrado $Z$ del producto, y la proyección de $Z$ en $X$ es un isomorfismo genérico (es decir, sobre Spec $\mathbb Q$ ) (ya que más de $\mathbb Q$ esto es sólo la proyección de $\Gamma_f$ en $X_{\mathbb Q}$ y la propiedad característica de un grafo es que esta proyección es un isomorfismo).

Ahora comprueba que un morfismo entre dos planos de tipo finito $\mathbb Z$ -que es un isomorfismo sobre $\mathbb Q$ es un isomorfismo sobre algún subconjunto abierto Spec $\mathbb Z(\Sigma^{-1})$ de Spec $\mathbb Z$ . Así, en $\mathbb Z(\Sigma^{-1})$ vemos que la proyección $Z_{\mathbb Z(\Sigma^{-1})} \to X_{\mathbb Z(\Sigma^{-1})}$ es un isomorfismo, por lo que $Z_{\mathbb Z(\Sigma^{-1})}$ es el gráfico de alguna extensión $f'$ de $f$ a $X_{\mathbb Z(\Sigma^{-1})}$ .