Supongamos que $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ . Definir $m(x)=\max_{a\leq s\leq x}\, f(s)$ , $a\leq x\leq b$ . Es $m(x)$ ¿constantemente? Gracias.
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DiGi
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Sí, lo es.
PISTA: Claramente $m(s)$ es monotónicamente no decreciente en $[a,b]$ . Por lo tanto, si es discontinuo en algún $x\in[a,b]$ debe tener una discontinuidad de salto en $x$ : o $\lim\limits_{s\to x^-}m(s)<m(x)$ o $m(x)<\lim\limits_{s\to x^+}m(s)$ .
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Supongamos primero que $\lim\limits_{s\to x^-}m(s)<m(x)$ para algunos $x\in(a,b]$ . Demostrar que $\lim\limits_{s\to x^-}f(s)<f(x)$ contradiciendo la continuidad de $f$ .
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Entonces supongamos que $m(x)<\lim\limits_{s\to x^+}m(s)$ para algunos $x\in[a,b)$ . Demostrar que $f(x)<\lim\limits_{s\to x^+}f(s)$ , contradiciendo de nuevo la continuidad de $f$ .
Añadido: Aquí tienes un poco más de ayuda con (1). Dejemos que $u=\lim\limits_{s\to x^-}m(s)$ . Para todos los $s\in[a,x)$ tenemos $$f(s)\le m(s)\le u<m(x)=\max\{f(s):a\le s\le x\}\;.$$ En otras palabras, $f(s)\le u$ por cada $s\in[a,x)$ pero $\max\{f(s):a\le s\le x\}=m(x)>u$ Esto sólo es posible si $f(x)=m(x)$ . Pero entonces $\lim\limits_{s\to x^-}f(s)\le u<f(x)$ .
(2) puede tratarse de forma muy similar.
Davide Giraudo
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$f$ es uniformemente continua en $[a,b]$ . Arreglar $\varepsilon>0$ , elija $\delta$ tal que $|f(x)-f(y)|\leq\varepsilon$ cuando $|x-y|\leq \delta$ y que $x\in [a,b]$ . Tenemos que demostrar que $|m(x)-m(x+t)|\leq\varepsilon$ si $|t|\leq \delta$ . Tenemos para $t>0$ que $$m(x+t)=\max_{0\leq s\leq x+t}f(s)=\max\{f(x),\max_{x\leq s\leq x+t}f(s)\},$$ y para $t<0$ que $$m(x+t)=\max\{f(x-t),\max_{x-t\leq s\leq x}f(s)\}.$$ Tenemos $|f(x)-\max_{x\leq s\leq x+t}f(s)\}|\leq\varepsilon$ cuando $0<t<\delta$ y $|f(x-t)-\max_{x-t\leq s\leq x}f(s)|<\varepsilon$ cuando $0>t>-\delta$ .
