La evaluación del límite por el teorema del sándwich.

Question

$$\lim_{n\to\ \infty}\frac{1}{1+n^2} +\frac{2}{2+n^2}+\cdots+\frac{n}{n+n^2} $ $ Para usar el teorema de Sandwich, necesito dos funciones, tales como$g(x)<f(x)<h(x)$$$\frac{1}{n+n^2} +\frac{2}{n+n^2}+\cdots+\frac{n}{n+n^2} \leq \frac{1}{1+n^2} +\frac{2}{2+n^2}+\cdots+\frac{n}{n+n^2} $ $, pero no puedo encontrar una función mayor que la dada, lo que me ayudará a evaluar el límite.

Answer 1

Insinuación:

ps

El límite es$$(1+2+3+\cdots+n)\frac{1}{n^2+n} \leq \frac{1}{1+n^2} +\frac{2}{2+n^2}+\cdots+\frac{n}{n+n^2}\leq (1+2+3+\cdots+n)\frac{1}{n^2+1} $

Answer 2

INSINUACIÓN:

Si está familiarizado con los números de armónicos, también puede probar:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+n^2}+\frac{2}{2+n^2}+\cdots+\frac{n}{n+n^2}=\lim_{n\to\infty}\sum_{m=1}^{n}\frac{m}{m+n^2}=$ $$$\lim_{n\to\infty}n\left(n\text{H}_{n^2}-n\text{H}_{n^2+n}+1\right)=\frac{1}{2}$ $

Answer 3

Su expresión puede escribirse como$$\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k+n^2}$$ so, you can search for terms $ a (k, n)$ and $ b (k, n)$ such that $$a(k,n)\le \frac{k}{k+n^2}\le b(k,n)$$ For example $% # ps