Sea $(\rhon){n \geq 0}$ una secuencia regularizing estándar en $\mathbb R$. Que $P$ sea una medida de probabilidad en $\mathbb R$ tal que limita la secuencia $(P\rhon){n \geq 0}$ $L^2$. ¿Entonces, la probabilidad medida $P$ admite una densidad en $ L^2$? es decir, hay un $p \in L^2(\mathbb R)$ satisfacer\begin{align} P(dx) = p (x) dx? \end {Alinee el} mi entendimiento es que, debido a la fronteridad en $L^2$, la secuencia $(P\rhon){n \geq 0}$ contiene un subsequence, que converge débil a un límite en $L^2$. Pero, ¿cómo sabemos que la densidad $p$ es el límite?
Respuesta
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Por un lado, tenemos a $\lim\limits_{n\to\infty} P \ast \rho_n \to P$ en el sentido de las distribuciones (Laurent Schwartz, no de las distribuciones de probabilidad). Por otro lado, por la supuesta acotamiento en $L^2$, tenemos una larga tal que $P\ast \rho_{n_k}$ converge débilmente a$p$$L^2$. La debilidad de la convergencia en $L^2$ implica la convergencia en el sentido de las distribuciones, y $\mathscr{D}'(\mathbb{R})$ es Hausdorff, por lo que los límites son únicos. Por lo tanto, tenemos "$p = P$" (más precisamente, $P$ es la medida con la densidad de $p$ con respecto a la medida de Lebesgue). Desde $p$ es, por tanto, la única posible débil es el límite de una larga, de hecho toda la secuencia $P\ast \rho_n$ converge débilmente a $p$.
