Cómo interpretar la ecuación diferencial (z + x) dx + (x + z) dy + (x + y) dz = 0?

Question

Como$\frac{dy}{dx}$ no es una razón sino un límite, la ecuación diferencial$\frac{d^2y}{dx^2} -3 \frac{dy}{dx} + 2y = 0$ se puede interpretar como una función$y$ cuyas derivadas de primer orden y segundo orden satisfacen la ecuación y no como las diferencias$dx, dy$ satisface la ecuación.

Pero cómo interpretar una ecuación diferencial de la forma$(z+x)dx + (x+z)dy + (x+y)dz = 0$ y también hay alguna forma rigurosa de expresar la ecuación anterior. Como una derivada debe expresarse como$\frac{dy}{dx} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)- f(x)}{h}$?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Piense en ello en términos finitos. Intercambiar el diferencial de $d$ finita diferencia $\Delta$:

$$(z+x) \Delta x + (x+z) \Delta y + (x+y)\Delta z = 0$$

Esto se puede escribir en forma vectorial como

$$\begin{pmatrix} z+x \\ x+z \\ x+y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z\end{pmatrix} = 0$$

Lo que está diciendo?

Supongamos que $x = x(t)$, $y = y(t)$ y $z = z(t)$, es decir, el triplete $(x,y,x)$ define una curva en el espacio; luego,

$$\begin{align} \Delta x &= x(t + \Delta t) - x(t),\\ \Delta y &= y(t + \Delta t) - y(t),\\ \Delta z &= z(t + \Delta t) - z(t),\\ \end{align}$$

Así, la ecuación vectorial se puede escribir como

$$\begin{pmatrix} z(t)+x(t) \\ x(t)+z(t) \\ x(t)+y(t) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} \\ \frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t} \\ \frac{z(t + \Delta t) - z(t)}{\Delta t}\end{pmatrix} \Delta t = 0$$ Si el cambio en $t$ es infinitesimal, entonces $$\begin{pmatrix} z(t)+x(t) \\ x(t)+z(t) \\ x(t)+y(t) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \\ z'(t) \end{pmatrix} d t = 0$$ Y, por supuesto, $dt$ es tan pequeño como quieras, pero no cero (recuerde el epsilons y deltas), por lo que

$$\begin{pmatrix} z(t)+x(t) \\ x(t)+z(t) \\ x(t)+y(t) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \\ z'(t) \end{pmatrix} = 0$$

Ahora, lo que en la Tierra es el vector de la derecha?

$\color{blue}{\text{The tangent vector to the curve!}}$

Así, su ecuación diferencial está diciendo:

Usted necesita encontrar una curva en el espacio de tal forma que su vector tangente es ortogonal al vector definido por $$\mathbf{v}(t) = [z(t) + x(t)]\mathbf{i} + [x(t) + z(t)]\mathbf{j} + [x(t) + y(t)]\mathbf{k}$$ para todos los valores del parámetro $t$.

Si $\mathbf{v}(t)$ es ortogonal a $\mathbf{T}$, habita en el plano definido por $\mathcal{P} := \{\mathbf{v} \in \mathbb{R}^3\,|\, \mathbf{v}\cdot \mathbf{T} = 0\}$. En otras palabras, $$\mathbf{N}(t) = \mathbf{T}'(t) = \lambda \mathbf{v}(t)$$ donde $\mathbf{N} \in \mathcal{P}$ $\lambda$ es una constante.

Por supuesto, como se ha dicho, la solución al problema no es único.

Pero, ¿por qué?

Bueno, supongamos que tenemos una función de $u = u(x,y,z)$ y, como se indicó, $x = x(t)$, $y = y(t)$ y $z = z(t)$. A continuación, $$\frac{d}{d t} = u_x x'(t) + u_y y'(t) + u_z z'(t) = 0.$$

Otra lectura que la DE es:

Usted está buscando una función de $u(x,y,z)$ de manera tal que su pendiente es colineal a $\mathbf{v}$: $$\mu\nabla u = [z + x]\mathbf{i} + [x + z]\mathbf{j} + [x + y]\mathbf{k}$$ donde $\mu$ es una constante.

Por lo tanto, hay una infinte número de funciones que satisfacen esta propiedad. Incluso si usted se centra solamente en los que se transfiere a través de una curva de tal manera que no es la unicidad de $u$, un número infinito de estas curvas puede ser construido, asegurando la falta de unicidad para el orignial DE (incluso con las condiciones iniciales de $x$, $y$ y $z$ algunos $t_0$).