Un sistema de partículas que interactúa mediante fuerzas conservativas, también respetará $U_2+K_2=U_1+K_1$

Question

Estudiando cálculo vectorial se aprende a demostrar que una partícula que se mueve en un campo gravitatorio, en ese campo respetará que $dU=-dW$ . De esto se puede concluir $U_2+K_2=U_1+K_1$ .

Esto es fácil de demostrar aquí pero no veo cómo demostrarlo para, supongamos, $n$ partículas cargadas o partículas masivas.

¿Cómo puedo probar tal cosa? A saber, demostrar que $U_2+K_2=U_1+K_1$ es cierto si la naturaleza de todas las fuerzas de su sistema son conservativas (irrotacionales). Evidentemente $U_j=\sum_i U_i$ y $K_j=\sum_i K_i$ es decir, en la instantánea (2) $U_2$ es la suma de todas las energías potenciales del sistema, y lo mismo para la energía cinética.

Answer 1

Una fuerza es conservadora si existe un potencial $\Phi$ tal que ${\bf F} = -\nabla\Phi$ . El Lagrangiano para un sistema de $n$ partículas que actúan bajo (cualquier número de) fuerzas conservativas puede escribirse en la forma general

$$L = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}m_i{\bf \dot{r_i}}^2 - \Phi({\bf r_1},{\bf r_2},\ldots,{\bf r_n})$$

lo que conduce a la ecuación de movimiento

$$m_i{\bf \ddot{r_i}} = -\nabla_{{\bf r_i}}\Phi$$

Multiplicar con ${\bf \dot{r_i}}$ y sumando sobre todas las partículas nos da el resultado deseado

$$\frac{d}{dt}\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i{\bf \dot{r_i}}^2 = -\sum_{i=1}^n{\bf \dot{r_i}}\cdot\nabla_{\bf r_i}\Phi \equiv -\frac{d\Phi}{dt} \implies K+U={\rm const.}$$

donde $K=\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i{\bf \dot{r_i}}^2$ y $U = \Phi$ son la energía cinética y potencial totales, respectivamente. Este argumento cubre el caso en el que tenemos más de una fuerza en juego para la que podemos escribir $\Phi=\Phi_{\rm force~1}+\Phi_{\rm force~2}+\ldots$ .

Answer 2

Sugerencia : Usted desea probar $\sum_i { \tfrac{1}{2}mv_i^2}- \sum \dfrac{GM_im_j}{r_{ij}}=\text{constant}$ donde $r_{ij}=\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2+(z_i-z_j)^2}$ . Es el caso de la gravitación (o fuerza electrostática).

Así que si pruebas $\dfrac{dK}{dt}=-\dfrac{dU}{dt}$ esto implica $K+U=\text{constant}$ .