Mostrar el rango es contable

Question

Dejemos que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Para cada $x \in \mathbb{R}$ existe $\delta$ para cada $y \in N(x, \delta)$ ( $N$ significa barrio) $f(y) \geq f(x)$ .

Demuestre que el rango de $f$ es contable.

Answer 1

Supongamos que $a$ está en el rango de $f(x)$ . Entonces, si $x_0$ es cualquier número tal que $f(x_0) = a$ se puede encontrar un intervalo $[b,c]$ que contiene $x_0$ con $b$ y $c$ racional tal que $f(x) \geq a$ en $[b,c]$ . Así, $a \mapsto (b,c)$ da un mapeo desde el rango de $f(x)$ a ${\mathbb Q} \times {\mathbb Q}$ y este mapeo es claramente inyectivo. Por lo tanto, el rango de $f$ es contable.

Answer 2

En otras palabras, $f$ tiene un mínimo local en todas partes. De forma más general, el mismo resultado es válido si $f$ tiene un extremo local en todas partes; según este ( Problema 2010-4/B ), el resultado se puede encontrar en varios lugares en la literatura (también se proporciona una prueba). Curiosamente, como corolario en el caso de que $f$ es más continua, obtenemos una respuesta a esta pregunta (nótese la respuesta que he dado allí).

EDITAR (ampliando la segunda parte): Supongamos que $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua y tiene un extremo local en todas partes. De esta última propiedad se deduce que el rango de $f$ es contable. Por lo tanto, concluimos del teorema del valor intermedio que $f$ debe ser constante (pues de lo contrario el rango sería incontable, una contradicción).