Para la siguiente secuencia de funciones y su función de límite, podemos ver que $f_n(x)$ es claramente pointwise convergente
$$f_n(x) = x^n\text{ }\forall x\in[0,1]\text{ y }\forall n\in\mathbb N^*\\ f(x) = \begin{cases}0&\text{if } x\in[0,1)\\1&\text{if } x=1\end{casos}$$
Sin embargo, me preguntaba por qué esto no es uniformemente convergente. La condición para la convergencia uniforme es:
$$|f_n(x) - f(x)| < \epsilon,\ \ \ \forall x \text{ when } n > N$$
Ahora la mayoría de las fuentes de presentar un argumento a lo largo de las líneas de: suponga que el $f_n(x)$ es uniformemente convergente y que $0 < x < 1$, esto significa que $x^n<\epsilon$ siempre $n>N$. Específicamente, esto significaría $x^{N+1}<\epsilon$ fijos $N$. Pero si ahora nos pick $x$ tal que $1 > x > ε^{\frac{1}{N+1}}$, entonces esto podría conducir a una contradicción, por lo tanto, $f_n(x)$ no es uniformemente convergente.
Sin embargo, me preguntaba ¿por qué no tomamos $n$ hasta el infinito. Si $0 < x < 1$, $\lim_{n\rightarrow \infty} |f_n(x) - f(x)| = 0$ (que es menos de $\epsilon$). Ahora desde $|f_n(x) - f(x)|$ siempre va a ser $0$ si $n > \infty$, entonces ¿no sería este uniformemente convergente?
