Axioma de la unión; la unión de los naturales y los números reales

Question

En la teoría de conjuntos suponemos el axioma de la unión para ser cierto para todos los universos, más formalmente $\forall x \exists y \forall [z \in y \Leftrightarrow \exists t (t \in x \land z \in t)]$. Llamamos al conjunto de $y$ la unión de $x$.

Esto es intuitivamente se entiende como el conjunto formado por los elementos de los elementos de $x$, pero tengo problemas para entender el escenario en el que los elementos de $x$ no son generalmente considerados como conjuntos.

Tomar los números naturales $\mathbb{N}$ como un ejemplo. Después de que el axioma $\cup \mathbb{N}$ existe y se compone de los elementos de los números naturales; sin embargo, los números no son intrínsecamente conjuntos. Como todo tiene que ser un conjunto en el conjunto de la teoría de muchos diferentes construcciones teóricas de nuestro número se han ideado sistemas, como el de Von Neumann de la construcción de los números naturales.

Lo que me pregunto es ¿que $\cup \mathbb{N}$ o $\cup \mathbb{R}$, de hecho lo son, especialmente en el conjunto habitual de teoría de construcciones. ¿Tienen algún tipo de profundización en la propiedad o están establecidos arbitrariamente por el universo $\mathscr{U}$, y la construcción de $\mathbb{N}$$\mathbb{R}$$\mathscr{U}$?

Answer 1

En el conjunto habitual de la teoría de la construcción de la $\mathbb{N}$, en el que $0 = \{\}$$n+1 = n \cup \{n\}$, usted tiene $$ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}=\{\{\},\{0\},\{0,1\},\{0,1,2\},\ldots\}, $$ y así $$ \bigcup\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}=\mathbb{N}. $$ No hay una relativamente sencilla, y la construcción de $\mathbb{R}$ en ZFC, por lo que creo $\bigcup\mathbb{R}$, mientras que debe existir, dependerá en gran medida de los detalles. Por ejemplo, hay al menos dos construcciones diferentes en los cuales los elementos de $\mathbb{R}$ son clases de equivalencia (subconjuntos) de otro conjunto: el conjunto de secuencias de Cauchy en un caso, y el conjunto de Dedekind recortes en el otro. El uso de estas construcciones, $\bigcup\mathbb{R}$ es el conjunto de las secuencias de Cauchy o el conjunto de Dedekind cortes, los cuales son claramente muy diferente.

De hecho, incluso los $\bigcup\mathbb{N}=\mathbb{N}$, mientras que elegante, no es necesario. Otras construcciones de $\mathbb{N}$ incluir en representación de sus elementos, como las colecciones de subconjuntos finitos de algún otro conjunto infinito $A$. (I. e., "3" es el conjunto de todos los 3 elementos de los subconjuntos de a $A$, "4" es el conjunto de todos los 4 elementos de los subconjuntos, etc.) En este caso, $\bigcup\mathbb{N}$ sería el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $A$.