Quiero saber de dónde son esenciales las aplicaciones de la teoría de Stein espacios en la geometría algebraica. He oído Cartan del teorema de A & B se utilizaron en Serre de la GAGA, pero hay otras aplicaciones?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Yo diría que, técnicamente hablando Stein espacios no son esencialmente utilizados en la geometría algebraica, sino que ellos tenían, y aún tienen, una fuerte motivación papel. Permítanme elaborar en estas polémicas afirmaciones:
Primero de todo, la geometría algebraica, y especialmente esquema de la teoría, no presupone que el campo base es$\mathbb C$, e incluso menos que tiene de característica cero. Así Stein colectores aún no puede ser definido.
Stein colectores son sustituidos en la geometría algebraica por afín variedades (o esquemas), y los teoremas de ellos son infinitamente más fácil que los correspondientes teoremas de Stein espacios: la fuga de cohomology coherente poleas (e incluso para cuasi coherente poleas !) se demostró en dos páginas más general afín noetherian esquemas (no sólo variedades) en Hartshorne, mientras que el correspondiente teorema de Stein espacios fue desarrollado a lo largo de dos décadas por Oka, Cartan, Serre, ... y lleva la mitad de un libro para ser demostrado (cf. el libro de Grauert-Remmert en Stein espacios o que por L. Kaup-B. Kaup en holomorphic funciones de varias variables) .
Y, finalmente, la evidencia empírica es contundente: de los numerosos geometría algebraica libros que manejan cohomology coherente de las poleas a través de una variedad algebraica exactamente cero (a mi lnowledge) uso Stein colectores para probar sus resultados.
Dicho esto, históricamente, el primer uso de la cohomology coherente de las poleas se indeede en el complejo colector de teoría : Cartan se dio cuenta de que Oka resultados en pseudo-convexo, dominios, podría ser interpretado en el lenguaje de Leray, recientemente descubierto poleas y Cartan del estudiante Serre adaptar estas técnicas a la geometría algebraica en su tierra-rompiendo el artículo Faisceaux Algébriques Cohérents.
Pero permítame enfatizar de nuevo que Serre nunca utiliza cualquier resultado de Stein teoría en ese artículo.
Goethe
Puntos
18
Cómo sobre la Cartan-Serre teorema:
Teorema(Cartan-Serre): Vamos a $X$ ser un compacto de holomorphic variedad, y $\mathscr{F}$ coherente gavilla en $X$. A continuación, $H^p(X,\mathscr{F})$ es un espacio de dimensión finita para todas las $p\geqslant 0$.
Este es, sin lugar a dudas, uno de los más importantes teoremas en cualquier introducción a la geometría analítica. La prueba de este teorema hace gran uso de Stein espacios.
El principio rector de la utilización de Stein espacios en la prueba es simple. Cuando queremos calcular cohomology, nos gusta tener una manera más concreta de conseguir una manija en ella.
Normalmente, esto se presenta en forma de un Leray cubierta $\mathfrak{U}$ de la gavilla $\mathscr{F}$ (una cubierta donde la restricción de la gavilla para cada intersección finita es acíclico) en un espacio de $X$. Esto es debido a que Leray del teorema nos dice que la Čech cohomology $\check{H}^i(\mathfrak{U},\mathscr{F})$ coincide con la definición habitual de cohomology como $H^i(X,\mathscr{F})=(R^i\Gamma)(\mathscr{F})$.
En la geometría algebraica, este principio se manifiesta de manera bastante agresiva. Estoy seguro de que usted ha apelado al hecho de que si $X$ es separado quasicompact esquema, y $\mathscr{F}$ coherente gavilla en $X$, $H^i(X,\mathscr{F})$ puede ser calculada como $\check{H}^i(\mathfrak{U},\mathscr{F})$ donde $\mathfrak{U}$ es cualquier finito abra la cubierta de $X$. Esto es meramente Leray del teorema, junto con la observación de que la Serre criterio para affiness implica que $\mathscr{U}$ es un Leray cubierta para$\mathscr{F}$$X$.
Stein espacios y Cartan del teoremas jueguen el mismo papel en el complejo de los colectores que afín variedades y Serre criterio de jugar en la geometría algebraica. Es decir, Cartan del teoremas nos dicen que si $X$ es una analítica del espacio y $\mathscr{F}$ coherente gavilla, entonces cualquier cubierta $\mathscr{U}$ por Stein colectores será un Leray de la cubierta. Por lo tanto, se puede apelar a Leray del teorema a la conclusión de que podemos calcular la gavilla cohomology como el Čech cohomology de esta cobertura.
