Tenemos que calcular la suma
$$S = \sum_{p \ge 0}t_p = \sum_{p \ge 0}(-1)^{p+q} \binom mp \binom mq \binom np \binom nq\frac{p! q! (m+n-p-q)!}{m! n!}$$
donde $t_p = 0$ $p > m$ porque $\binom{m}{p} = 0$$p > m$.
El término relación de $$\frac{t_{p+1}}{t_p} = \frac{(-1)(m-p)(n-p)(p+1)}{(p+1)(p+1)(m+n-p-q)} = \frac{(p-m)(p-n)}{(p+q-m-n)(p+1)}$$
es una función racional de la suma del índice de $p$.
Por lo tanto $S$ es un hipergeométrica de la serie dada por
$$\begin{align}S &= {_2}F_1\left[\begin{matrix} -m & -n\\q-m-n\end{matrix} \text{ ; } 1\right] \cdot t_0\end{align}$$
que se adapta a las hipergeométrica de Gauss identidad para dar
$$S = \frac{\Gamma(q)\Gamma(q-m-n)}{\Gamma(q-m)\Gamma(q-n)} \cdot t_0$$
Sabemos que
$\begin{align}t_0 &=(-1)^q \binom{m}{q}\binom{n}{q}\frac{q!(m+n-q)!}{m!n!}\\&=(-1)^q\frac{\Gamma(m+n-q+1)}{\Gamma(q+1)\Gamma(m-q+1)\Gamma(n-q+1)}\end{align}$
después de escribir el factoriales y los coeficientes binomiales en términos de la función Gamma.
Sustituyendo esto en $S$ da
$\begin{align}S &= \color{darkblue}{(-1)^q} \frac{\Gamma(q)}{\color{darkblue}{\Gamma(q+1)}}\frac{\Gamma(q-m-n)\color{darkblue}{\Gamma(m+n-q+1)}}{\color{darkgreen}{(}\Gamma(q-m)\color{darkblue}{\Gamma(m-q+1)}\color{darkgreen}{)}\cdot \color{darkgreen}{(}\Gamma(q-n)\color{darkblue}{\Gamma(n-q+1)}\color{darkgreen}{)}}\end{align}$
Pares de términos se encuentran susceptibles a la de Euler reflexión fórmula, dando una expresión en términos de la función seno.
$\begin{align}S &= (-1)^{q} \frac{1}{q}\frac{\frac{\pi}{\sin{\pi(q-m-n)}}}{\frac{\pi}{\sin{\pi(q-m)}}\frac{\pi}{\sin{\pi(q-n)}}} \\\\ &= \frac{(-1)^{q}}{q\pi }\frac{\sin{(q\pi - m\pi)}\sin{(q\pi - n\pi)}}{\sin{(q\pi - (m+n)\pi )}} \end{align}$
Las identidades trigonométricas para la simetría y periodicidad de reducir la suma a
$\begin{align}S &= \frac{(-1)^{q}}{q\pi}\frac{(-1)^{m}\sin{( q\pi)}(-1)^n\sin{(q \pi)}}{(-1)^{m+n}\sin{(q\pi)}}\\ &= \frac{(-1)^{q}\sin{( q\pi)}}{q\pi} \\ &= \begin{cases} 0 & q \ne 0 \\ 1 & q = 0 \end{cases}\end{align}$
En términos de la delta de Kronecker, la suma se convierte en $$\color{darkred}{S = \delta_q}$$
Nota: yo hice referencia en el capítulo 3 - La Hipergeométrica de la Base de datos de el maravilloso libro A=B para este problema.