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¿Hay una manera más simple de calcular esta suma?

Para cualquier enteros positivos $m$, $n$ y $q$, de tal manera que $m\leq n$ de la suma siguiente $$S_p= \sum_{p=0}^m(-1)^{p+q} \binom mp \binom mq \binom np \binom nq\frac{p! q! (m+n-p-q)!}{m! n!}$$ es igual a $1$ si $q=0$ $0$ lo contrario.

El resultado puede ser obtenido comentando que $S_p$ de la forma $$ \sum_{p=0}^m(-1)^p\binom mp P(m-p)\tag{1}$$ where $P$ is a polynomial of degree $m-p$. One then uses the following property of the form (1) for polynomials $P$ of degree at most $m$, that the sum is equal to $m! a_m$, where $a_m$ is the coefficient of $X^m$ in $P(X)$.

  • ¿Cuál es el nombre de esta propiedad (o una referencia, yo sólo sé que a partir de la wikipedia) ?
  • Hay una forma más simple para demostrar el resultado sin necesidad de utilizar esta propiedad en particular ?

5voto

paatos Puntos 21

Tenemos que calcular la suma

$$S = \sum_{p \ge 0}t_p = \sum_{p \ge 0}(-1)^{p+q} \binom mp \binom mq \binom np \binom nq\frac{p! q! (m+n-p-q)!}{m! n!}$$

donde $t_p = 0$ $p > m$ porque $\binom{m}{p} = 0$$p > m$.

El término relación de $$\frac{t_{p+1}}{t_p} = \frac{(-1)(m-p)(n-p)(p+1)}{(p+1)(p+1)(m+n-p-q)} = \frac{(p-m)(p-n)}{(p+q-m-n)(p+1)}$$

es una función racional de la suma del índice de $p$.

Por lo tanto $S$ es un hipergeométrica de la serie dada por

$$\begin{align}S &= {_2}F_1\left[\begin{matrix} -m & -n\\q-m-n\end{matrix} \text{ ; } 1\right] \cdot t_0\end{align}$$

que se adapta a las hipergeométrica de Gauss identidad para dar

$$S = \frac{\Gamma(q)\Gamma(q-m-n)}{\Gamma(q-m)\Gamma(q-n)} \cdot t_0$$

Sabemos que

$\begin{align}t_0 &=(-1)^q \binom{m}{q}\binom{n}{q}\frac{q!(m+n-q)!}{m!n!}\\&=(-1)^q\frac{\Gamma(m+n-q+1)}{\Gamma(q+1)\Gamma(m-q+1)\Gamma(n-q+1)}\end{align}$

después de escribir el factoriales y los coeficientes binomiales en términos de la función Gamma.

Sustituyendo esto en $S$ da

$\begin{align}S &= \color{darkblue}{(-1)^q} \frac{\Gamma(q)}{\color{darkblue}{\Gamma(q+1)}}\frac{\Gamma(q-m-n)\color{darkblue}{\Gamma(m+n-q+1)}}{\color{darkgreen}{(}\Gamma(q-m)\color{darkblue}{\Gamma(m-q+1)}\color{darkgreen}{)}\cdot \color{darkgreen}{(}\Gamma(q-n)\color{darkblue}{\Gamma(n-q+1)}\color{darkgreen}{)}}\end{align}$

Pares de términos se encuentran susceptibles a la de Euler reflexión fórmula, dando una expresión en términos de la función seno.

$\begin{align}S &= (-1)^{q} \frac{1}{q}\frac{\frac{\pi}{\sin{\pi(q-m-n)}}}{\frac{\pi}{\sin{\pi(q-m)}}\frac{\pi}{\sin{\pi(q-n)}}} \\\\ &= \frac{(-1)^{q}}{q\pi }\frac{\sin{(q\pi - m\pi)}\sin{(q\pi - n\pi)}}{\sin{(q\pi - (m+n)\pi )}} \end{align}$

Las identidades trigonométricas para la simetría y periodicidad de reducir la suma a

$\begin{align}S &= \frac{(-1)^{q}}{q\pi}\frac{(-1)^{m}\sin{( q\pi)}(-1)^n\sin{(q \pi)}}{(-1)^{m+n}\sin{(q\pi)}}\\ &= \frac{(-1)^{q}\sin{( q\pi)}}{q\pi} \\ &= \begin{cases} 0 & q \ne 0 \\ 1 & q = 0 \end{cases}\end{align}$

En términos de la delta de Kronecker, la suma se convierte en $$\color{darkred}{S = \delta_q}$$

Nota: yo hice referencia en el capítulo 3 - La Hipergeométrica de la Base de datos de el maravilloso libro A=B para este problema.

2voto

Claude Leibovici Puntos 54392

Realmente no sé cuánto podría ayudar a: usando un CAS, lo que he encontrado es ese % $ $$S=\sum_{p=0}^m(-1)^{p+q} \binom mp \binom mq \binom np \binom nq\frac{p! q! (m+n-p-q)!}{m! n!}=\frac{(-1)^q \sin (\pi q)}{\pi q}$

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