Encuentra una transformación lineal que lleva una línea a una línea

Question

Ayúdenme a encontrar una transformación lineal$T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ que tome la línea$2x+3y=6$ a la línea$2x-3y=6$. He encontrado una transformación afín que es$T=(0,6)+\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 &-1 \end{pmatrix}$ pero no puedo encontrar una transformación lineal.

Answer 1

Una transformación lineal genérica de$\mathbb{R}^2$ a$\mathbb{R}^2$ es del tipo$f(x,y)=(ax+by,cx+dy)$. Ambos puntos$(3,0)$ y$(0,2)$ pertenecen a la línea$2x+3y=6$. Por lo tanto, elija$a$,$b$,$c$ y$d$ de modo que tanto$f(3,0)\bigl(=(3a,3c)\bigr)$ como$f(0,2)\bigl(=(2b,2d)\bigr)$ pertenezcan a la línea$2x-3y=6$ . Lo que esto significa es que$$6a-9c=4b-6d=6.$ $