Tengo curiosidad por el Teorema de Convergencia Dominada para una secuencia de funciones que converge en medida.
Teorema:
Dejemos que $(X,\mathcal{S},\mu)$ sea un espacio de medidas. Si $\{f_n\}, f$ son medibles, de valor real (es decir, finitos) y tales que $f_n \to f$ en medida y $|f_n| \leq g$ con $\int g \,\mathrm{d}\mu < \infty$ entonces $$ \int f_n \,\mathrm{d}\mu \to \int f \,\mathrm{d}\mu $$
Prueba:
Desde $f_n \to f$ en medida, entonces para cualquier subsecuencia de $\{f_n\}$ Llámalo $\{f_k\}$ También tenemos $f_k \to f$ en medida. Ahora podemos extraer un más subsiguiente $\{f_{k_j}\}$ tal que $f_{k_j} \to f$ casi en todas partes. Aplicando la versión a.e. de la convergencia dominada a esta subsecuencia se obtiene: $$ \int f_{k_j} \,\mathrm{d}\mu \to \int f \,\mathrm{d}\mu $$ Definiendo ahora la secuencia de números reales $\{a_n\}$ por $a_n = \int f_n \,\mathrm{d}\mu$ queremos demostrar que $$a_n \to \int f \,\mathrm{d}\mu$$ Pero acabamos de demostrar que para cualquier subsecuencia $\{a_k\}$ de $\{a_n\}$ existe una subsecuencia más $\{a_{k_j}\}$ que converge a $\int f \,\mathrm{d}\mu$ . Así, $a_n$ converge a $\int f \,\mathrm{d}\mu$ también. QED.
Pregunta:
Por lo tanto, en ninguna parte de esta prueba he utilizado el hecho de que $\mu$ es $\sigma$ -finito. Sin embargo, en todas partes que miro, sigo viendo este resultado con la condición de que $\mu$ sea $\sigma$ -finito (por ejemplo Generalización del teorema de convergencia dominante ). Entonces, ¿debo estar haciendo algo mal?
El único lugar que se me ocurre donde $\sigma$ -la finitud podría ser requerida es en la extracción de una subsecuencia convergente a.e. de la secuencia convergente "en medida" $\{f_k\}$ . Pero estoy bastante seguro de que $\sigma$ -La finitud no es necesaria para extraer una subsecuencia casi uniformemente convergente de una subsecuencia convergente "en medida". Y como las subsecuencias casi uniformemente convergentes son también casi siempre convergentes, entonces estoy perplejo.
¿Algún consejo?
