Se puede verificar con la fuerza bruta que el grupo que se alterna en 5 elementos ($A_5$) tiene la propiedad de que cada miembro sea una involución o puede escribirse como el producto de dos involuciones. ¿Hay una prueba simple de este hecho?
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DonAntonio
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Los elementos de $\,A_5\,$ son de la forma (usando la descomposición única (hasta orden) de una permutación en ciclos disjuntos): $$(i\,j)(k\,m)\,,\,(i\,j\,k)\,,\,(i\,j\,k\,m\,n)$$The first one above is an involution, and now we prove the other two are products of involutions:$% $ $(i\,j\,k)=(i\,k)(i\,j)\,\,,\,\,(i\,j\,k\,m\,n)=(i\,n)(i\,m)(i\,k)(i\,j)$
M.k. agregado propuesto en su comentario a continuación que todos los elementos de $\,A_5\,$ should\could expresarse como producto de la involución dentro de $\,A_5\,$ sí mismo. \,,\,\Text well:$$(i\,j\,k)=\left[(j\,k)(i\,m)\right]\left[(m\,k)(i\,m)\right]$$$$(i\,j\,k\,m\,n)=(i\,m\,n) (i\, j\, k) {y ahora aplicar la línea anterior} $$
En $A_5$, tenemos cuatro estructuras de ciclos: la identidad $(1)$, el $3$-ciclos, $5$-ciclos y productos de transposición de los dos separados.
La identidad es el producto de un cualquier involución con sí mismo. Los productos de dos transposiciones disjuntos son involuciones.
Para $3$-ciclos: $(123) = (13)(12) = (13)(45)(12)(45)$.
Para $5$-ciclos: $(12345) = (13)(45)(12)(35)$.
Sólo en caso no es obvio, el caso general $(abc)$ $(abcde)$ sigue reemplazando $1, 2, 3, 4$ y $5$ $a, b, c, d$ y $e$ respectivamente.
Jonik
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Dos involuciones generar un diedro grupo, por lo que nos gustaría mostrar que la alternancia grupo de cinco símbolos es una unión de diedro grupos.
Uno conceptual manera de hacer esto es para identificar la alternando con el grupo de PSL(2,4) y de uso muy fácil subgrupo de la estructura de estos grupos $\operatorname{PSL}(2,p^k)$: cada elemento es un p-elemento (y por lo tanto no un producto de involuciones menos $p^k \mod 4$ es de 0 o 1) o un miembro de una de las dos clases conjugacy de diedro subgrupos de órdenes de $p^k\pm 1$ (el normalizadores de la división y la no división de tori).
En nuestro caso $p^k=4$, por lo que los únicos elementos que no son manejados por los dos tori son las involuciones sí mismos.
