¿Relación entre nuclear spin y momento magnético nuclear?

Question

Sabemos que ese momento magnético nuclear puede expresarse en términos del valor esperado para el spin nuclear como:

$$\langle\mu\rangle =[g_lj+(g_s-g_l)\langle s_z\rangle]\frac{\mu_N}{\hbar}$$

(Cf. Krane), $\vec{j}$ Dónde está el ímpetu angular total , $\vec{l}+\vec{s}$.

¿Cómo relaciona el valor de $\langle s_z\rangle$ esperado para el $\vec{j}$ componente de spin, $\langle s_j\rangle$? Krane menciona que sólo ese valor es necesario, dado que permanece constante.

Answer 1

Desde el momento magnético $$\mathbf{\mu}=\mathbf{\mu_L}+ \mathbf{\mu_S}=(g_l \mathbf{L}+g_s\mathbf{S})\frac{\mu_N}{\hbar}\tag1$$ tomar el producto escalar con $\bf{J}$ $$\mathbf{\mu_J} ·\mathbf{J}=(1/2(g_l +g_s)\mathbf J^2+1/2(g_l -g_s)(\mathbf L^2-\mathbf S^2))\frac{\mu_N}{\hbar} \tag2$$ así que con el conmutador relación $$\mu=(1/2(g_l +g_s)j+1/2(g_l -g_s)\frac{(l-s)(l+s+1)}{j+1}) \mu_N \tag3$$

desde $s=1/2$ $j= l\pm1/2$ final con los dos posibles valores de $\mu$ $$\mu=(jg_l-1/2(g_l -g_s)) \mu_N \quad\text{para }j= l+1/2\\ \mu=(jg_l+(g_l -g_s)\frac{j}{2j+1}) \mu_N \quad\text{para }j= l-1/2 \tag4$$

este es su a $⟨s⟩$ proyección en el $j$ dirección.

Para $s\neq 1/2$ ecuación, $(3)$ aún se mantiene. Pero para $s>l$ el factor debe ser cambiado a la forma general de la $$\frac{l(l+1)- s (s+1)}{j+1}.$$