Dos raíces del polinomio

Question

Si un polinomio con coeficientes racionales tiene una raíz $1 + \cos(2\pi/9) + \cos^2(2\pi/9)$, entonces el también tiene una raíz $1+\cos(8\pi/9)+\cos^2(8\pi/9).$ ¿cómo probarlo?

Answer 1

Tomar el $\omega=e^{i2\pi/9}$.

Que $\alpha=1 + \cos(2\pi/9) + \cos^2(2\pi/9)$. Entonces $4\alpha = 6+2\omega+ \omega^2 + \omega^7 + 2\omega^8$, $2\cos(2\pi/9)=\omega+\bar\omega$ y $\omega^9=1$.

Que $\beta = 1+\cos(8\pi/9)+\cos^2(8\pi/9)$. Entonces $4\beta = 6 + \omega+ + 2\omega^4 + 2\omega^5 + \omega^8$, mediante el uso de $2\cos(8\pi/9)=\omega^4+\bar\omega^4$.

Ahora tenga en cuenta que el mapa $\omega \mapsto \omega^4$ $\mathbb Q(\omega)$ envía $\alpha$ $\beta$ y envía al mapa $\omega \mapsto \omega^5$ $\beta$ $\alpha$. Esto significa que para $p$ un polinomio con coeficientes racionales, $p(\alpha)=0$ foro $p(\beta)=0$, como sea necesario.

Alternativamente, también puede concluir que el $\alpha$ y $\beta$ son números algébricos conjugados y su resultado sigue porque su polinomio mínimo es el mismo.