Encuentre todos $n \in \mathbb N$ tal que $\sigma(n) + \phi(n) = n\tau(n)$

Question

Me piden que encuentre todos los naturales $n$ tal que $\sigma(n) + \phi(n) = n\tau(n)$ donde $\sigma, \phi, \tau$ son la suma de divisores, el totiente de Euler y las funciones de recuento de divisores, respectivamente. ( $\sigma$ da la suma de los divisores de $n$ y $\tau$ da el número de divisores de $n$ )

Me he dado cuenta de que si $n = 1 \text{ or it is prime,}$ entonces la ecuación se mantiene, y de la ejecución de una comprobación rápida de Python para los primeros 10.000 naturales, estos parecen ser las únicas soluciones. Sin embargo, no estoy seguro de cómo puedo demostrar que no hay otras soluciones.

Soy consciente de que $\phi$ y $\sigma$ son funciones multiplicativas, es decir que si $m,n \in \mathbb N, gcd(n,m) = 1$ entonces $\sigma(mn) = \sigma(n)\sigma(m)$ y $\phi(mn) = \phi(n)\phi(m)$

He descubierto que si $n = p_1^{a_1}\dots p_k^{a_k} $ para primos distintos $p_1,\dots,p_k$ entonces $\tau(n) = \prod_{i=1}^{k}(a_i+1)$ lo que parece implicar que $\tau$ también es una función multiplicativa.

Así, tenemos que si $n,m \in \mathbb N, gcd(n,m) = 1$ entonces:

$\sigma(mn) + \phi(mn) = \sigma(n)\sigma(m) + \phi(n)\phi(m)$ y $nm\tau(nm) = nm\tau(n)\tau(m)$ Así que si $nm$ satisface la condición entonces:

$\sigma(m)\sigma(n) + \phi(m)\phi(n) = nm\tau(n)\tau(m)$

De esta ecuación se deduce que para $n,m \mathbb N \backslash \{1\} $ , $n,m,nm$ no pueden ser todos soluciones. En concreto, si $nm$ es una solución, entonces a lo sumo una de $n,m$ también es una solución.

Suponiendo que $n$ es una solución que conseguimos:

$\sigma(n)\sigma(m) + \phi(n)\phi(m) = m\tau(m)(\sigma(n) + \phi(n))$

$\Rightarrow \sigma(n)(\sigma(m) - m\tau(m)) + \phi(n)(\phi(m) - m\tau(m)) = 0$

Nota $\sigma(m) - m\tau(m) < 0$ y $\phi(m) - m\tau(m) < 0$

$\Rightarrow LHS < 0 $ una contradicción. Por lo tanto, concluimos que $nm$ puede satisfacer la ecuación sólo si $n,m \in \mathbb N \backslash\{1\}$ no lo hagas.

Esto implica entonces que si $n$ es compuesto y satisface las ecuaciones entonces todo factor primo $p$ debe satisfacer $p^2 \mid n$ es decir, n no es libre al cuadrado.

Y ahora no sé cómo proceder. No sé qué más puedo demostrar y no sé cómo puedo demostrar que los primos son las únicas soluciones que $1$ . Cualquier ayuda será muy apreciada, ¡gracias!

Answer 1

Dejemos que $n$ sea compuesto, digamos $n=ab$ avec $1<a<n$ . Entonces, reordenando la ecuación, $$ n-1\ge \phi(n) =n\sum_{d\mid n}1-\sum_{d\mid n}d=\sum_{d\mid n}(n-d)\ge (n-1)+(n-a),$$ lo cual es absurdo.