¿Cómo decidir si un polinomio es simétrico?

Question

Primero, ¿es el siguiente:$$f=\frac{3}{5}(x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5)-\frac{7}{12}(x_1^2x_2^2 - x_1^2x_3^2-x_1^2x_4^2-x_2^2x_3^2-x_2^2x_4^2-x_3^2x_4^2)$ $ un polinomio simétrico? Y, en caso afirmativo, ¿cómo se escribe$f$ como una combinación lineal de los siguientes polinomios simétricos estándar:

$f_1=x_1+x_2+x_3, f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4, f_3=x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4, f_4=x_1x_2x_3x_4?$

Conozco un método para responder a esto usando la base de Groebner. Sin embargo, el programa me dice que$f$ no es simétrico, pero parece que debe ser simétrico.

Answer 1

Un polinomio en $n$ variables es simétrica exactamente cuando usted lo puede hacer cualquier permutación de las variables y dejar los polinomios sin cambios. En otras palabras, debe tener $$f(x_1, \dots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)})$$ para cualquier permutación $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. El estándar simétrica polinomio comprobar esto, por lo que una combinación lineal de ellos verifica esto. Es entonces un ejercicio para demostrar lo contrario es cierto.

En tu ejemplo, si cambio de las variables $x_2$ $x_3$ (la permutación $(2 \; 3) \in \mathfrak{S}_5$), luego el polinomio cambios debido a los signos en frente de la monomials $x_1^2 x_2^2$$x_1^2 x_3^2$. Por lo que el polinomio no es simétrica.