Muestre que un subespacio es denso en$L^2[0,1]$

Question

Deje$f \in L^1[0,1]$, pero$f \notin L^2[0,1]$. Considere el subespacio$X$ de$L^2[0,1]$ tal que$X= \{\phi \in L^2[0,1]: \int f \phi = 0\}$. Quiere mostrar que$X$ es denso en$L^2[0.1]$. Intenté probar esto comprobando que$\langle f, g \rangle, \forall g \in X$ implica$f = 0$. Sin embargo, esto no parece una forma plausible de hacer esto. También me insinúo usar la teoría del operador densamente definido, pero solo sé de esto por su definición.

Answer 1

Permita que$D\subset L^2[0,1]$ sea el conjunto de$\phi\in L^2[0,1]$, de modo que$f\phi$ sea integrable. Tenga en cuenta que$D$ es denso en$L^2[0,1]$ (ya que$f\in L^1[0,1]$,$D$ contiene todo$L^\infty[0,1]$ denso en$L^2[0,1]$).

Ahora podemos considerar el funcional$T$ sobre$D$ dado por$T\phi=\int f\phi$. El subespacio$X$ es el kernel de$D$. Como$f\not\in L^2[0,1]$,$T$ debe ser ilimitado. Pero el kernel de cualquier funcionalidad lineal ilimitada en un espacio vectorial normado es denso. Por lo tanto,$X$ es denso en$D$ y, por lo tanto, también en$L^2[0,1]$.