¿Por qué es posible concluir todo a partir de una afirmación falsa?

Question

Posibles duplicados:
En lógica clásica, ¿por qué (p -> q) es Verdadero si tanto p como q son Falsos?
¿Por qué un sistema formal incoherente puede demostrarlo todo?

He oído a un profesor de matemáticas explicar que las siguientes conslusiones son ciertas.

1. $\textrm{False}\Rightarrow \textrm{True}$
2. $\textrm{False}\Rightarrow \textrm{False}$

¿Podría alguien explicarme por qué ambas conclusiones son ciertas? Me interesa especialmente el primer caso. Me gustaría escuchar dos explicaciones, si es posible: Una para matemáticos y uno para no matemáticos . :-)

Answer 1

He aquí una para los no matemáticos:

Digamos que te prometo 1.000.000 de dólares con la condición de que los cerdos vuelen. Podríamos decir algo como:

Si los cerdos vuelan, entonces te daré $ 1,000,000

Ahora, si los cerdos no vueles y no te doy 1.000.000 de dólares, no tienes motivos para quejarte. No he mentido. Este es tu caso #2.

Si los cerdos no vuelan sin embargo, todavía te doy $ 1,000,000 , (caso 1) entonces sólo soy muy generoso, pero no me he contradicho ni he faltado a mi palabra.

Answer 2

Mientras que las otras respuestas han dado matemáticamente adecuado, creo que tal vez debería explicar por qué definimos la implicación material de esta manera.

En primer lugar, consideremos el principio de modus ponens . Si sabemos que $P$ es cierto, y también sabemos $P \to Q$ entonces es razonable que podamos deducir $Q$ también es cierto. También es razonable decir que si es posible tener $P$ verdadero y $Q$ falso al mismo tiempo, entonces deberíamos tener $P \to Q$ falso. La cuestión es cómo definir el valor de verdad de $P \to Q$ para que el principio de modus ponens nos da deducciones sólidas. Resulta que no hay una respuesta única: las dos propiedades "obvias" de la implicación que acabo de enumerar sólo fuerzan dos de las entradas de la tabla de verdad: $$\begin{array}{c|cc} & P \text{ false} & P \text{ true} \\ \hline \\ Q \text{ false} & ? & P \to Q \text{ false} \\ Q \text{ true} & ? & P \to Q \text{ true} \end{array}$$ Es posible rellenar los espacios en blanco de cualquier manera y seguir obteniendo una interpretación de $P \to Q$ que hace que modus ponens válido. Al menos entre los matemáticos, es convencional elegir la forma "más débil" posible de rellenar la tabla, es decir, que $P \to Q$ es verdadera siempre que $P$ es falso. Esto no produce inconsistencias lógicas y modus ponens es válida según esta interpretación, ¿por qué no?

Pero en realidad, una vez que empezamos a añadir otras reglas de inferencia, rápidamente nos vemos obligados a concluir que $\to$ debe interpretarse así. En efecto, consideremos las siguientes reglas de inferencia:

1. Monotonicidad : Desde $P$ podemos deducir $P$ .
2. Transitividad : Si podemos deducir $R$ de $Q$ y si podemos deducir $Q$ de $P$ entonces de $P$ podemos deducir $R$ .
3. Prueba condicional : Si podemos deducir $R$ de $P$ y $Q$ entonces de $P$ podemos deducir $Q \to R$ .
4. Introducción a la negación : Si podemos deducir $Q \to \bot$ de $P$ entonces de $P$ podemos deducir $\lnot Q$ . ( $\bot$ es una proposición que se interpreta como "contradicción". $\lnot$ es un operador lógico que se interpreta como 'no').
5. Introducción a la disyunción : Desde $P$ podemos deducir $P \lor Q$ . ( $\lor$ es una conectiva lógica que se interpreta como "o").
6. Modus tollendo ponens : Desde $P \lor Q$ y $\lnot P$ podemos deducir $Q$ .

Estoy seguro de que todo el mundo está de acuerdo en que estas reglas de inferencia son totalmente razonables. Pero éstas ya bastan para demostrar que ex falso quodlibet es decir, de $\bot$ podemos deducir cualquier proposición $Q$ . Efectivamente:

1. Por monotonía, podemos deducir $\bot$ de $\bot$ .
2. Por prueba condicional, podemos deducir $\bot \to \bot$ de $\bot$ .
3. Por introducción de la negación, podemos deducir $\lnot \bot$ de $\bot \to \bot$ .
4. Por introducción de la disyunción, podemos deducir $\bot \lor Q$ de $\bot$ .
5. Por transitividad, podemos deducir $\lnot \bot$ de $\bot$ .
6. Por modus tollendo ponens y transitividad (unas cuantas veces), podemos deducir $Q$ de $\bot$ .

Entonces podemos aplicar de nuevo el principio de la prueba condicional para deducir $\bot \to Q$ de hipótesis alguna. Así que si creemos que estas reglas de inferencia son válidas, entonces estamos obligados a concluir que $P \to Q$ debe ser verdadera siempre que $P$ es falso, no importa lo que $Q$ es.

Answer 3

Voir http://www.nku.edu/~longa/classes/mat385_resources/docs/russellpope.html por la prueba de Bertrand Russell de que 1=0 implica que él es el Papa.

Answer 4

El Chaz aludió, en un comentario, a que por suficiencia de "o" se puede razonar que ambas implicaciones son ciertas.

Tenga en cuenta que $A \rightarrow B$ es equivalente a $\lnot A \lor B$ (puede confirmarlo utilizando una tabla de verdad para cada uno y convencerse de que producen la misma "salida" -valor de verdad- para cualquier combinación dada de valores de verdad de A y B).

Esto es lo que siempre me ayudó cuando aprendía lógica por primera vez:

Sea el valor de verdad de $A$ ser falsa, de $B$ Verdad. Entonces $A \implies B$ es un ejemplo del caso 1 en el que tenemos una afirmación falsa que implica una afirmación verdadera. Ahora bien, si tomamos la equivalencia de $A \implies B$ y $\lnot A \lor B$ entonces en este caso, $\lnot A$ es $\lnot\text{False}$ es decir $\lnot A$ es una afirmación verdadera. Puesto que $\lnot A$ es una afirmación verdadera, entonces también lo es $\lnot A \lor \text{True}$ y también $\lnot A \lor \text{False}$ (si $B$ resultó ser falsa), ya que un enunciado disyuntivo ("o") se evalúa como verdadero siempre que (al menos) uno de sus disyuntos sea verdadero. Dado que $\lnot A$ es cierto, entonces $\lnot A \lor X$ es verdadera independientemente del valor de verdad de la afirmación $X$ resulta ser.

Una explicación más "no matemática" podría utilizar un ejemplo realista, no descabellado, como el siguiente. Supongamos que el pronóstico anuncia una probabilidad de lluvia del 50% para mañana. Inmediatamente afirmo que "si llueve mañana, me llevaré un paraguas al campus". Vale, pues ya es mañana:

escenario 1. No está lloviendo, (y no llueve en absoluto), pero me he llevado el paraguas por si llueve. Falso --> Verdadero.

escenario 2. No llueve (y no llueve en absoluto). Bien por mí porque he decidido no llevarme el paraguas (ya que tengo suficiente con cargar conmigo). Falso --> Falso.

¿Eso ayuda?

Answer 5

En la lógica aristotélica, suponemos que toda proposición es verdadera o falsa. Esto no concuerda con el sentido común. Por ejemplo, no es necesariamente cierto o falso que George W. Bush haya sido el peor presidente de la historia de EE.UU.; es una cuestión de opinión. Sin embargo, la lógica aristotélica es la forma en que normalmente hacemos matemáticas. Es posible hacer matemáticas utilizando la lógica no aristotélica, pero hay que usar reglas diferentes. Un libro relativamente legible y no técnico sobre este tipo de cosas es Graham Priest, An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is.

En la lógica aristotélica, puedes hacer pruebas por contradicción. Si puedes razonar desde no-P hasta una contradicción, entonces se demuestra que P es verdadera. Por tanto, si trabajas en lógica aristotélica y tu sistema formal no es autoconsistente, entonces tu sistema formal demuestra que todas las proposiciones son verdaderas. Es decir, en lógica aristotélica, no puedes tener una pequeña contradicción que sólo estropee las cosas en un rincón del mundo. Cualquier contradicción hace saltar por los aires todo tu universo lógico.