$u$ armónico, $|u(x)|\le C(1+|x|^\theta), x\in \mathbb{R}^N$ $u$ es constante

Question

Deje $u$ ser un armónico de la función en $\mathbb{R}^N$. Supongamos que hay existe constantes $C>0$ $0\le\theta<1$ tal que $$|u(x)|\le C(1+|x|^\theta), x\in \mathbb{R}^N$$ Show that $u$ es constante. Mostrar también que esta conclusión no es válida para $\theta=1$

Yo creo que eso tiene algo que ver con el principio del máximo:

si $f$ es una función armónica, a continuación, $f$ no presentan un verdadero local máximo dentro del dominio de definición de $f$. En otras palabras, o $f$ es una función constante, o, para cualquier punto de $x_0$, $x_{0}$ dentro del dominio de $f$, existen otros puntos arbitrariamente cerca de $x_0$ a que $f$ lleva más grande valores.

Sin embargo, desde la $u$ está definido en todos los de $\mathbb{R}^N$, entonces creo que $u$ debe ser constante o ilimitado con ningún local el máximo de puntos (sólo puedo imagen de una función estrictamente creciente o decreciente).

No sé cómo proceder aquí. Esta desigualdad de condiciones no tiene sentido para mí.

Answer 1

Si$f$ es armónico en$\mathbb{R}^n$, se le da $r>0$%, hay$M>0$ tal que$$| Df(x_0)|\leq \frac{M}{r^{n+1}}\|f\|_{L_1(B(x_0,r))}. $ $ Eso es$$| Df(x_0)|\leq \frac{C\cdot M}{r^{n+1}}\|1+|x|^\theta\|_{L_1(B(x_0,r))}\leq \frac{C\cdot M}{r^{n+1}}\|1+|r|^\theta\|_{L_1(B(x_0,r))}$ $ Por lo tanto% #% ps

Entonces$$| Df(x_0)|\leq \frac{C\cdot M}{r^{n+1}}\cdot(1+|r|^\theta)\cdot \|1\|_{L_1(B(x_0,r))} = \frac{C\cdot M\cdot r^n}{r^{n+1}}\cdot(1+|r|^\theta)\cdot | B(x_0,1)|. $ $

Como$$| Df(x_0)|\leq \frac{C\cdot M}{r}\cdot(1+|r|^\theta)\cdot | B(x_0,1)|. $ y$0\leq\theta<1$ son armónicos en$f$, tomando$\mathbb{R}^n$ arbitrariamente grandes, el lado derecho de la desigualdad anterior va a cero. Entonces, para todo$r$, tenemos que$x_0$$$|Df(x_0)|=0,$ f$ and hence $ \ mathbb {R} ^ n $ está conectado.

Tenga en cuenta que esta prueba no funciona si$ is constant since $