Fórmulas diferenciales cerrados en serie de energía formal

Question

En Herbert Wilfs libro gfology, la generación de función se define "formalmente" como

Si $\displaystyle f = \sum_{i \geq 0} a_i x^i$, e $\displaystyle g = \sum_{i \geq 0} b_i x^i $, podemos definir

• $\displaystyle f+g := \sum_{i \geq 0} (a_i + b_i) x^i$
• $\displaystyle fg := \sum_{i \geq 0}(\sum_{m+n = i} a_mb_n)x^i$.
• $\displaystyle f' := \sum_{i \geq 0} ia_{i+1} x^i$ (Llaman a esto $\star$)

Esto está muy bien, y entiendo que esto y no tienen ningún problema con esto. Pero cuando decimos algo como esto en un ambiente formal:

$\displaystyle e^x = \sum_{i \geq 0} \frac{x^n}{n!}$

O,

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-4x}} = \sum_{k \geq 0} \binom{2k}{k} x^k $ (Call this equation $\spadesuit$)

Mi pregunta es: ¿Cómo es $e^x$ o $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-4x}}$ definida en un entorno formal ?

Son definidos como las funciones de generación de las secuencias que he mencionado ?

Si se define como eso, entonces ¿cómo se puede proceder para "diferenciar" los dos lados de $\spadesuit$ obtener

$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{(1-4x)^3}} = \sum_{k \geq 0} k \binom{2(k+1)}{k+1} x^k $

Entiendo lo que formalmente differntiate el lado derecho de la $\spadesuit$ desde que se define en $\star$, pero, ¿cómo la diferenciación formal de $\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$ definido (especialmente cuando los límites no tienen mucho sentido trabajar en algunos de los anillos)?

Answer 1

Hay esencialmente dos maneras de definir las $e^x$:

• El camino del perezoso es definir $e^x$$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{x^k}{k!}$. Esto es fácil, pero entonces usted tiene que explicar lo $e^{x+y}$ $e^{-x}$ $e^{e^x-1}$ son, y lo que otros exponenciales que usted necesita.

• La forma óptima (para mí) es definir $e^a$ $\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{a^k}{k!}$ siempre $a$ es un elemento de un topológico $\mathbb{Q}$-álgebra para que la suma de $\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{a^k}{k!}$ converge. De esta forma se define la potencia de la serie $e^x$, $e^{x+y}$, $e^{-x}$, $e^{e^x-1}$ y muchos otros de forma simultánea y también a $e^a$ al $a$ es nilpotent elemento de una $\mathbb{Q}$-álgebra (aquí, la suma converge, sino porque todos sus primeros términos son cero).

Dicho esto, la diferencia entre estos dos modos es meramente estético: Si ha definido a $e^x$ en el primer modo, se puede definir entonces $e^a$ como resultado de la evaluación de $e^x$ $x=a$ cada vez que esta evaluación está bien definido. Por lo tanto, las definiciones que se reducen a la misma.

Ahora, ¿qué acerca de la $\sqrt{1-4x}$? Si $p$ es un poder formal de la serie con el coeficiente de $1$ a través de una topológico $\mathbb{Q}$-álgebra $\mathbb{K}$, entonces veo tres formas de definir $\sqrt{p}$:

• La forma más natural para definir $\sqrt{p}$ a de ser la única potencia de la serie con término constante $1$ cuyo cuadrado es $p$. Toma un poco de trabajo para comprobar que este poder de la serie en realidad existe y es única (por eso le exigimos que tiene término constante $1$; de lo contrario, no sería el único). Luego, toma un poco más de trabajo para demostrar identidades básicas, como $\sqrt{p}\cdot\sqrt{q} = \sqrt{pq}$ arbitrarias $p$$q$. En última instancia, esto todavía es bastante fácil y rápido. La desventaja de este enfoque es que no generalize muy lejos: permite definir $\sqrt{p}$ $\sqrt[m]{p}$ para enteros positivos $m$, pero no (por ejemplo) $p^{\sqrt{2}}$.

• La forma más fácil de definir $p^a$ para cualquier potencia de la serie $p$ con coeficientes constantes $1$ y cualquier $a \in \mathbb{K}$ es la siguiente: Escribir $p$ $p = 1+r$ para algunos poder formal de la serie de $r$ con coeficientes constantes $0$, y el conjunto de \begin{equation} p^a = \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{a}{k} r^k , \end{equation} donde $\dbinom{a}{k} = \dfrac{a\left(a-1\right)\cdots\left(a-k+1\right)}{k!}$ se calcula en la $\mathbb{Q}$-álgebra $\mathbb{K}$. Esto es llamado "el Newton de la fórmula binominal". Establecimiento $a=1/2$, entonces usted puede obtener un $p^{1/2}$ (es decir, $\sqrt{p}$). La desventaja de este enfoque es que las reglas básicas de los exponentes (como$\left(pq\right)^a = p^a q^a$$\left(p^a\right)^b = p^{ab}$) son difíciles de probar.

• Por último, probablemente el mejor enfoque es definir primero $e^a$ para cualquier poder formal de la serie de $a$ con término constante $0$ ( $e^a = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{a^k}{k!}$ ) y definir $\log b$ para cualquier poder formal de la serie de $b$ con término constante $1$ ( $\log b = - \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{\left(1-b\right)^i}{i}$ ). Una vez que estos se definen, puede establecer $p^a = e^{a \log p}$ para cualquier poder formal de la serie de $p$ con término constante $1$ y cualquier $a \in \mathbb{K}$. Las propiedades habituales de exponenciales y logaritmos, a continuación, el rendimiento de las reglas básicas de los exponentes.

Es un instructivo ejercicio para mostrar que las dos últimas de estas tres definiciones son equivalentes, y que la primera es equivalente a la de ellos cada vez que se aplica.

Answer 2

La función exponencial, $e^x$ se define formalmente como $$e^x = \sum_{n\ge 0} \frac{x^n}{n!}. $$ Uno puede fácilmente demostrar que la formal derivado de la $e^x$ es en sí mismo y que $e^{x + y} = e^xe^y$ y otras propiedades formales exponencial debe tener.

Por otro lado, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$ es un poco más sutil. Sea lo que fuere, el poder de la serie es, nos gustaría satisfacer

$$ f(x)^2 = \sum_{n \ge 0} 4^n x^n = \frac{1}{1-4x}, \; f(0) = 1. \tag{1}$$

Es decir, definimos $f(x)$ como la única raíz de $(1 - 4x)y^2 - 1$ positivos término constante.

Ahora hay dos maneras de proceder. En primer lugar, mediante el análisis complejo donde podemos hablar acerca de la serie de Taylor y donde $f(x)$ va a ser una potencia de la serie se define en algunos de vecindad de cero. Con este enfoque, ya sabemos que la derivada debe ser y, a continuación, podemos hacer uso de un teorema que dice que la derivada de una potencia de la serie puede ser calculada a término por término.

El segundo enfoque es tomar $(1)$ como la definición. A continuación, una muestra de que la formal derivada satisface las normas habituales:

• $(f + g)' = f' + g'$
• $(fg)' = f'g + g'f$
• $(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$ siempre $g$ es invertible (es decir,$g(0) \ne 0$)

En particular, si dejamos $g(x) = 1 - 4x$ y diferenciar ambos lados de

$$ f(x)^2 = \frac{1}{g(x)}, $$

el uso de la segunda y tercera viñeta puntos, obtenemos

$$ 2f(x)f'(x) = -\frac{g'(x)}{g(x)^2}. $$

Ahora el cuadrado ambos lados y el uso de $(1)$, tenemos

\begin{align} 4f(x)^2f'(x)^2 &= \frac{g'(x)^2}{g(x)^4} \\ 4\frac{f'(x)^2}{g(x)} &= \frac{g'(x)^2}{g(x)^4} \\ f'(x)^2 &= \frac{g'(x)^2}{4g(x)^3} = \frac{4}{(1 - 4x)^3}. \end{align}

Por lo tanto, $f'(x)$ es la raíz de $(1 - 4x)^3y^2 - 4$ positivos término constante.

El punto es, si usted tiene una potencia de la serie que satisface una relación algebraica, entonces la derivada va a satisfacer otro algebraica de la relación.