Evaluación de $\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+\sqrt[n]{x}}$ $n\in\mathbb{N}$

Question

Por lo que algunas comprobaciones rápidas que parecen indicar que

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+\sqrt[n]{x}} = C_{n} + (-1)^{n+1}\log(2^{n})$$

Donde $C_{n}\in\mathbb{Q}$. Los denominadores de $C_{2n}$ parecen corresponder a la oeis:A117664. Es posible obtener un $C_{n}$ arbitrarias $n$ en forma cerrada? (En realidad estoy tratando de evaluar $\prod_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{2 dx}{1+\sqrt[n]{x}}$ numéricamente, pero es más fácil evaluar si puedo evaluar las integrales simbólicamente.)

Answer 1

Sustituyendo $x=u^n$ da $$ \int_0^1 \frac{nu^{n-1}}{1+u}\,du \;=\; \int_0^1\sum_{k=0}^\infty (-1)^k u^k nu^{n-1}\,du $$ La integración término a término de los rendimientos de la siguiente fórmula: $$ C_n \;=\; n(-1)^n \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}. $$ La suma de la derecha es una suma parcial de la serie armónica alternante. Para una fórmula explícita, lo mejor que puedes hacer es expresar estos números en términos de la serie de los números o la función digamma (ver MathWorld).