Demuestre que el conjunto$\left\{ x, Ax, \dots, A^{k-1} x \right\}$ es linealmente independiente

Question

Problema: Vamos a $A\in M_{n\times n}(\mathbb R)\,$ ser una matriz y supongamos que un número positivo $k\,$ existe tal que $A^k = 0\,$$A^{k-1} \neq 0$. Supongamos que $x=\left[ \begin{matrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right]$ es un vector en $\mathbb{R^n}$ tal que $A^{k-1} x \neq 0$.
Demostrar que el $k\,$ vectores $\,x,Ax,\dots,A^{k-1}x\,$ son linealmente independientes.

Mi intento: Supongamos $x + Ax + \dots + A^{k-1}x = 0$. Multiplicar ambos lados con $A^{k-1}$. Luego tenemos a $A^{k-1}x + A^k (x + Ax + \dots + A^{k-2}x) = 0 \Leftrightarrow A^{k-1}x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
lo que implica $x + Ax + \dots + A^{k-1}x\,$ es lineal independiente.

Este problema se ve muy fácil, pero quiero que mi prueba para ser revisados. Es correcto?

Answer 1

Tome$\alpha_0,\ldots,\alpha_{k-1}\in\mathbb R$ y suponga que$$\alpha_0x+\alpha_1Ax+\alpha_{k-1}A^{k-1}x=0.\tag1$$Then $ A ^ {k-1} (\ alpha_0x + \ alpha_1Ax + \ alpha_ {k-1} A ^ {k-1} x) = 0$, but this means that $ \ alpha_0A ^ {k-1} x = 0$ and, since $ A ^ {k-1} x \ neq0$, $ \ alpha_0 = 0$. So, $ (1)$ means that$$\alpha_1Ax+\alpha_2A^2x+\alpha_{k-1}A^{k-1}x=0.\tag2$$Now, start all over again, multiplying $ (2)$ by $ A ^ {k-2} $ y así sucesivamente.

Answer 2

Asumir que ${x, Ax, \ldots, A^{k-1}x}$ es linealmente dependiente. Que $p \in \mathbb{C}[x]$ ser el polinomio distinto de cero del grado mínimo que $p(A)x = 0$ y $\deg p \le k-1$.

De $A^k = 0$ y $A^{k-1} \ne 0$ vemos que el polinomio mínimo de $A$ $m_A(t) = t^{k-1}$. Tenemos $m_A(A)x = 0$ $p$ divide $m_A$.

Por lo tanto, $p(t) = t^j$ $1 \le j \le k-1$. Por lo tanto $A^jx = p(A)x = 0$ que es una contradicción con $A^{k-1}x \ne 0$.