¿Cómo se actualiza Bayesian en dos eventos que ocurren con la medida cero?

Question

Para ilustrar lo que quiero decir por favor, considere el siguiente escenario hipotético:

Una persona es el número favorito de $x\in[-1,1]$ se distribuyen al azar, con atomless función de densidad de $f(x)$.

Además, suponga que esta persona (después de darse cuenta de cuál es su número favorito $x$ es) que se llama el valor absoluto de este número favorito decir $|x|$.

Como un observador que se conoce la estructura, es decir, la distribución de $x$ y el comportamiento de la persona. Por lo tanto, después de observar decir $|x|=0.5$ usted sabe que la persona es el número favorito es 0.5 o -0.5.

Pero como Bayesiano updater ¿qué debe creencia de ser? ¿Tiene sentido decir que usted cree que las personas número favorito es con probabilidad 0.5 $$\mathbb{P}[x=0.5 \, |\, |x|=0.5]=\frac{\mathbb{P}[|x|=0.5 \,|\, x=0.5] \, f(0.5)}{f(0.5)+f(-0.5)}=\frac{ f(0.5)}{f(0.5)+f(-0.5)} ?$$

Sospecho que no, ya que cualquier distribución es equivalente (en varios sentidos) a los cambios en los eventos de medida cero. Pero, ¿qué se debe hacer en este tipo de escenario?

Yo habría pensado que un problema surge en la teoría económica (señalización de los juegos), pero todavía tengo que encontrar una referencia sobre este asunto (alguna de las sugerencias que aquí también sería muy apreciada).

Answer 1

La paradoja es uno de teoría de la medida y acondicionado en lugar de uno de inferencia Bayesiana (y por lo tanto se debe modificar el título de la pregunta). Para citar Andrei Kolmogorov,

"El concepto de probabilidad condicional con respecto a un hecho aislado hipótesis cuya probabilidad es igual a 0, es inadmisible."

Cuando uno define la densidad de $f$ de la variable aleatoria $X$, que de hecho puede ser cualquier cosa, incluyendo el nulo función de un conjunto $A\subset(-1,1)$ de medida cero. Sin embargo, a mí me parece que la explicación más fácil es que uno no puede elegir el conjunto $A$ a posteriori, es decir, una vez $X$ o $|X|$ se observa a ser $x$, por lo que el $x\in A$. Lo que significa que la observación real $x$ (o más precisamente, la realización concreta $x$ de la variable aleatoria $X$) tiene probabilidad cero a pertenecer a $A$.

Cuando la configuración de $$\mathbb{P}[X=0.5 \, |\, |X|=0.5]=\frac{\mathbb{P}[|X|=0.5 \,|\, X=0.5] \, f(0.5)}{f(0.5)+f(-0.5)}=\frac{ f(0.5)}{f(0.5)+f(-0.5)}$$ (a) la primera igualdad es una incorrecta aplicación de Bayes fórmula para conjuntos, ya que los conjuntos de medida cero y (b) acondicionado en el conjunto de medida cero $\{\omega;|X(\omega)|=0.5\}$ es para ser entendido, más que como una probabilidad condicional, como establecer el valor de la función$$\mathbb{E}[\mathbb{I}_{X=|X|}||X|=x]$$ at $x=0.5$, que no está definida de forma única, ya que la única restricción es la definición de condicional expectativas como $$\mathbb{P}[X=|X|]=\mathbb{E}\{\mathbb{E}[\mathbb{I}_{X=|X|}||X|]\}$$