Espacio de vector libre sobre un conjunto

Question

Dado un conjunto $S$ y un campo de $F$ podemos construir la $F$libre de espacio vectorial sobre$S$, de la siguiente manera.

Considerar el conjunto de formal sumas $$FS:=\left\{\sum_{s\in S} \alpha_s s\,:\, \alpha_s=0\, \text{except for a finite number of}\, s \in S\right\}.$$ La estructura de una $F$-espacio vectorial es dado a $FS$ mediante el uso de la adición y la multiplicación $F$, es decir,$$\sum_{s \in S} \alpha_s s+\sum_{s \in S} \beta_s s = \sum_{s \in S}(\alpha_s+\beta_s) s,$$$$\ alpha\left(\sum_{s \in S} \alpha_s s\right) :=\sum_{s\in S}(\alpha \alpha_s)s.$$

$FS$ se llama vector libre del espacio de más de $S$.

El elemento de $FS$ que $\alpha_s=1$ $\alpha_r=0$ si $r\neq s$ se identifica con $s$. Esta identificación se incrusta $S$ $FS$ y nos permiten contemplar $S$ como un conjunto de generadores para $FS$.

De hecho, por definición, cada elemento de a $FS$ se puede escribir como una combinación lineal de elemento de $S$. Mi pregunta es la siguiente: ¿cómo puedo demostrar que $S$ es una base? Quiero decir, ¿cómo puedo demostrar independencia lineal?

Creo que tenemos que agregar la siguiente condición en $FS$: dado $a=\sum_{s \in S} \alpha_s s, b=\sum_{s \in S} \beta_s s$ $FS$ $$a=b\,\text{iff}\, \alpha_s=\beta_s \, \text{for all}\, s \in S.$$ (de esta manera, independencia lineal es trivial).

Es esta condición necesaria o no para demostrar independencia lineal para $S$?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Estás en lo correcto de que la condición que $a=b$ si y sólo si $\alpha_s = \beta_s$ todos los $s \in S$ es necesario. Esto está envuelto en la definición de un 'formal suma', así que no creo que haya ninguna razón por la que había necesidad de explicar de forma explícita.

Si usted quiere ser muy preciso, se podría decir que el conjunto subyacente de $FS$ es el conjunto de funciones de $a : S \to \mathbb{R}$ tal que $\alpha(s) = 0$ para todos, pero un número finito de $s \in S$. Escrito $\alpha_s = a(s)$$\beta_s = b(s)$, con la condición de que $a=b$ si y sólo si $\alpha_s=\beta_s$ todos los $s \in S$ ahora se sigue de la definición de una función, y entonces usted puede simplemente identificar la formal suma $a = \sum_{s \in S} \alpha_s s$ con la correspondiente función de $a : S \to \mathbb{R}$.

(Si los espacios vectoriales son más de un campo $k \ne \mathbb{R}$, que sigue siendo bien: basta con sustituir $\mathbb{R}$ $k$ en el párrafo anterior.)

Answer 2

Una base de un espacio vectorial$V$ es un conjunto$B \subseteq V$ tal que para cualquier espacio vectorial$W$ y una función$f : B \to W$ existe un mapa lineal único$\tilde{f} : V \to W$ que extiende$f$.

En tu caso, deja que$W$ sea un espacio vectorial y$f : S \to W$ una función. Si un mapa lineal$A : FS \to W$ se extiende$f$, entonces por linealidad tenemos

ps

Por lo tanto, el único candidato para$$A\left(\sum_{s \in S} \alpha_s s\right) = \sum_{s \in S}\alpha A(s) = \sum_{s \in S} \alpha_sf(s)$ está dado por$\tilde{f} : FS \to W$. Este mapa es de hecho lineal:

\begin{align} \tilde{f}\left(\lambda\sum_{s \in S} \alpha_s s + \mu\sum_{s \in S} \beta_s s\right) &= \tilde{f}\left(\sum_{s\in S}(\lambda\alpha_s +\mu\beta_s)s \right)\\ &= \sum_{s\in S}(\lambda\alpha_s +\mu\beta_s)f(s)\\ &= \lambda \sum_{s \in S} \alpha_s f(s) + \mu\sum_{s\in S}\beta_s f(s)\\ &= \lambda\tilde{f}\left(\sum_{s \in S} \alpha_s s\right) + \mu\tilde{f}\left(\sum_{s \in S} \beta_s s\right) \end{align}

Por lo tanto,$\tilde{f}\left(\sum_{s \in S} \alpha_s s\right) = \sum_{s \in S} \alpha_sf(s)$ es una base para$S$.

Answer 3

Para mayor claridad, pondré corchetes alrededor de los elementos de$FS$.

Supongamos que se nos da una combinación lineal finita de elementos de$S$:

ps

(lo que significa que todos menos un número finito$$ \sum_{s \in S} c_s [s] $ son cero). Luego, al aplicar inductivamente la definición de las operaciones del espacio vectorial, podemos mostrar

ps

Si tenemos una dependencia lineal

ps

entonces debemos tener

$c_s$ $ y por lo tanto$$ \sum_{s \in S} c_s [s] = \left[ \sum_{s \in S} c_s s \right]$ para todos$$ \sum_{s \in S} c_s [s] = 0 $.