Estaba resolviendo la siguiente desigualdad Para $a$ , $b$ , $c$ y $d$ siendo números reales positivos que va como $$ \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+d} + \frac{d}{d+a} \leq \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a} + \frac{d}{a+b} $$ Lo cual pude hacer con éxito Pero no soy capaz de entender la intuición detrás de la desigualdad, y cómo alguien llegó a ella. ¿Puede alguien ayudarme a entenderlo intuitivamente?
Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,
$$(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}+\frac{d-a}{a+b})(b+c+c+d+a+d+a+b)\ge(a-b+b-c+c-d+d-a)^2=0$$
Tenemos que demostrar que el primer paréntesis es positivo, pero como $a,b,c,d$ son positivos, es efectivamente positivo.
La igualdad se produce si $a-b=b-c=c-d=d-a$ es decir $a=b=c=d.$
La intuición detrás de esto es que $\sum_{cyc}\frac a{a+b}$ está relativamente más cerca de $1$ que $\sum_{cyc}\frac d{a+b}$ . Considera esto: la suma del numerador y el denominador son iguales, pero el lado derecho está más extendido. Entonces, ¿qué lado es más grande? Esto no es matemáticamente riguroso, pero es mi primer instinto. Además, estas desigualdades se pueden hacer permutando Cauchy-Schwarz, la desigualdad de reordenación y la desigualdad de la media de la potencia.
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Una forma de pensar en ello es que, mientras que a/(a+b) etc. son todos individualmente menores que 1, no hay un control similar para los gustos de a/(b+c) en el RHS (si a es relativamente grande comparado con b y c, lo que para números arbitrarios podría ocurrir fácilmente). Entonces sólo es cuestión de mirar hasta dónde se puede empujar desde el "infinito" hacia atrás y ver que no se necesita añadir nada más al RHS si se tiene simetría cíclica.