Vinculación entre el número y el producto de la copa

Question

Sea $S^p$ y $S^q$ sean esferas disjuntas en $\mathbb{R}^n$ con $n=p+q+1$ y que $X= \mathbb{R}^n- (S^p\cup S^q)$ . Por dualidad de Alexander, sus clases fundamentales dan clases de cohomología en $\tilde{H}^p(X)$ y $\tilde{H}^q(X)$ respectivamente $\alpha^p$ y $\alpha^q$ . El producto taza $\alpha^p \cup \alpha^q$ se encuentra en $\tilde{H}^{p+q}(X)\cong \tilde{H}_0(S^p \cup S^q) \cong \mathbb{Z}$ por lo que hay un número entero asignado a este producto de copa.

Consideremos ahora el caso $p=q=1, n=3$ .

¿Puedo y en caso afirmativo cómo ¿puedo demostrar que este número entero es el número de enlace de las esferas definidas por el recuento "habitual" de signos en los cruces?

¿Se puede generalizar esto a un número de enlace en dimensiones superiores?

Edita: Gracias por tu respuesta, Aloizio Macedo.

Creo que decir que la dualidad de Alexander viene dada por capar con una clase de orientación no es del todo correcto en este caso ya que necesito variedades compactas con límite para la dualidad de Lefschetz. Pero aún así he intentado utilizar tus ideas para el caso $p=q=1, n=3$ utilizando $S^3$ en lugar de $\mathbb{R}^3$ :

Llama a las esferas $S_1, S_2$ . Sea $\beta_1 = \alpha^1 \cap [S^3]$ , $\beta_2 = \alpha^2 \cap [S^3] \in H_2(S^3,S_1\cup S_2)$ . (Entonces $[S_i] = \partial(\beta_i) \in H_1(S_1\cup S_1)$ para $i=1,2$ .) Sea $D_1$ sea la inversa de $\cdot \cap [S^3]$ . Tenemos $\alpha^1 \cup \alpha^2 = D_1(\beta_1) \cup D_1(\beta_2) = D_1(\beta_2 \circ \beta_1)$ donde $\circ$ es el producto de intersección de Bredon. Ahora bien, si $\beta_i=[N_i]$ para los submanifolds $N_i$ , $i=1,2$ , obtengo $\alpha^1\cup \alpha^2 = D_1(\beta_2 \circ \beta_1) = D_1([N_1]\circ [N_2])=D_1([N_1 \cap N_2])$ . Pero $N_i$ tendría que ser bidimensional de forma que $N_1 \cap N_2$ es $1$ -dimensional y no estoy muy seguro de cómo obtener un número de enlace a partir de aquí... (Una intersección de una superficie Seifert y un nudo suele ser $0$ -dimensional, un conjunto de puntos, ¿verdad?)

Answer 1

El candidato ya ha encontrado una respuesta, pero yo quería dar mi opinión al respecto. Dejemos que $L$ sea el enlace, formado por círculos $\alpha$ y $\beta$ .

Tenemos un mapa de dualidad Alexander $D: H^1(S^3\setminus L)\rightarrow H_1(L)$ dado por $\gamma\mapsto\partial(\omega\frown\gamma)$ donde $\omega$ es una clase fundamental. Esto tiene un inverso, $D^{-1}: H_1(L)\rightarrow H^1(S^3\setminus L)$ que puede describirse del siguiente modo: para cualquier ciclo de 1 $\sigma\subset S^3\setminus L$ es el límite de un ciclo doble en $S^3$ que denotamos por $\partial^{-1}\sigma$ . Entonces $$ D^{-1}(\tau)(\sigma) = [\tau\cap\partial^{-1}\sigma]\in\mathbb{Z} $$ donde $[\tau\cap\partial^{-1}\sigma]$ es sólo la intersección orientada. No conozco una referencia para esto. @CheerfulParsnip menciona esto en su respuesta aquí ¿quizás conozca una fuente?

De todos modos, a partir de aquí es fácil. Tenemos \begin{align*} D\left(D^{-1}(\alpha)\smile D^{-1}(\beta)\right) &= \partial(\omega \frown(D^{-1}(\alpha)\smile D^{-1}(\beta)))\\ &= \partial(\omega\frown D^{-1}(\alpha))\frown D^{-1}(\beta)\\ &= \alpha\frown D^{-1}(\beta)\\ &= D^{-1}(\beta)(\alpha)\\ &= [\beta\cap\partial^{-1}\alpha] \end{align*} y esto es sólo la intersección de $\beta$ con la superficie Seifert de $\alpha$ . Si elegimos bien las orientaciones, este es el número de enlace de $\alpha$ y $\beta$ .