En la escuela, siempre he visto conjuntos. Estaba viendo un video el otro día sobre funtores, y empezaron a hablar sobre un conjunto siendo una colección, pero no al revés. También escuché a gente hablar sobre clases. ¿Cuál es su relación? Algo de contexto sería bueno.
Tiene algo que ver con algo llamado el paradox de Russell, pero no sé qué es eso.
Creo que la diferencia entre una familia y un conjunto es que la primera es una función y la última es un conjunto. ¿Es esto correcto?
La idea detrás de una "colección" es simplemente una noción de un montón de objetos matemáticos que se recopilan en un solo montón grande. Piénsalo como un contenedor grande lleno de basura, diamantes y botellas vacías de cerveza, no tiene que tener sentido lo que hay en esta colección, es simplemente una colección.
Uno de los problemas para explicar estas cosas a personas que no son matemáticos (o que intentan "superar a un teórico de conjuntos", como me encontré con varios) es que la noción de una colección no es completamente formal a menos que ya sepas qué son los conjuntos y las clases, e incluso así no es exactamente lo que queremos decir.
Permíteme comenzar de nuevo ahora. Al hacer matemáticas a menudo tenemos una idea de un objeto que queremos representar formalmente, esto es una noción. Luego escribimos axiomas para describir esta noción e intentamos ver si estos axiomas son autocontradictorios. Si no lo son (o si no pudimos demostrar que lo son) comenzamos a trabajar con ellos y se convierten en una definición. Los matemáticos son guiados por la noción pero trabajan con la definición. Rara vez la noción y la definición coinciden, y se tiene un objeto matemático que es exactamente lo que nuestra [los matemáticos] intuición nos dice que debería ser.
En este caso, una colección es una noción de algo de lo que podemos hablar, como una bolsa misteriosa. Podemos saber que todas las cosas dentro de esta bolsa misteriosa son manzanas, pero no sabemos de qué tipo; podemos saber que todas son Granny Smith, pero no podemos garantizar que ninguna esté podrida. Una colección es justo así. Podemos conocer algo sobre sus elementos o no, pero sabemos que tiene algunos.
Los matemáticos comenzaron describiendo estas colecciones y llamándolas conjuntos, lo hicieron de una manera relativamente ingenua, y describieron los axiomas de una manera bastante ingenua. Para el no matemático (y para la mayoría de los no teóricos de conjuntos) todo sigue siendo un conjunto, y siempre podemos asumir que hay un teórico de conjuntos que aseguró que para lo que necesitamos esto es cierto. De hecho, si solo quisiéramos discutir los números reales, no hay de qué preocuparse, podemos asumir que todo con lo que trabajamos es un conjunto.
Esta creencia ingenua puede expresarse como cada colección es un conjunto. Resultó que algunas colecciones no pueden ser conjuntos, esto se expresó a través de varios paradoxes, el paradoxo de Cantor; el paradoxo de Russell; y otros paradoxos. El significado exacto es que si utilizamos esa descripción axiomática particular de "qué es un conjunto" entonces podemos derivar de ella una contradicción, lo que quiere decir que estos axiomas son inconsistentes.
Después de que esto ocurriera, varias personas comenzaron a trabajar en formas de eliminar este problema. Un método común fue limitar la forma en que podemos generar colecciones que son conjuntos. Esto significa que ya no puedes derivar tal contradicción dentro de la teoría, es decir, no puedes demostrar que tal colección incluso existe, o mejor dicho, puedes probar que no existe.
La teoría de conjuntos común actualmente llamada ZFC (nombrada así en honor a Zermelo y Fraenkel, la C denota el axioma de elección) es relativamente cercana a la forma ingenua de la que emerge la teoría de conjuntos, y aún nos permite definir colecciones que no son conjuntos, aunque, por ejemplo, "la colección de todos los conjuntos". Estas colecciones se llaman clases, o mejor clases apropiadas.
¿Qué es definible? Esta es toda una historia aparte, pero básicamente significa que podemos describirlo con una fórmula única (quizás con parámetros) de una variable libre. "$x$ es más alto que 1.68m" es un ejemplo de una fórmula así, y define la clase de todas las personas más altas que dicha altura.
Así que en ZFC podemos definir una colección que no es un conjunto, como la colección de todos los singletons, o la colección de todos los conjuntos. Estos no son conjuntos porque son demasiado grandes, en cierto sentido, para ser conjuntos, pero son clases clases apropiadas. Podemos hablar de colecciones que no son definibles pero eso requiere mucha más base en lógica y teoría de conjuntos para entrar en ello.
Las clases son colecciones que pueden ser definidas, los conjuntos son clases particulares que son relativamente pequeñas y hay clases que no son conjuntos. Las colecciones son una noción que se expresa a través de estos objetos matemáticos, pero no necesariamente deben estar bien definidas de otra manera.
Por supuesto cuando decimos definidas nos referimos en el contexto de una teoría, por ejemplo ZFC. En este sentido, los conjuntos son cosas que "realmente existen" mientras que las clases son colecciones de las que podemos hablar a pesar de su posible no existencia.
Queda una sola cosa, las familias. Bueno, como señalaste, las familias son funciones. Pero las funciones son conjuntos, por lo que las familias son conjuntos. Podemos hacer un ligero ajuste a esto, y de hecho, podemos hablar de funciones de clase, y de un índice que no es un conjunto sino una clase apropiada. Por lo tanto, podemos hablar de familias que son clases.
En general, si es así, una familia es una correspondencia de una colección en otra que utiliza una colección como índices para elementos de otra colección.
@AsafKaragila "las clases son colecciones que pueden ser definidas, los conjuntos son clases particulares", pero no todos los conjuntos pueden ser definidos/son definibles ya que solo hay un número contable de definiciones. Entonces, ¿cuál es la diferencia exacta entre una clase y una colección?
@David: Permitimos parámetros en la definición de clases. Por lo tanto, a pesar de tener solo una cantidad numerable de fórmulas, la elección de variables es sorprendentemente grande. La diferencia exacta es que una colección es una noción cuya interpretación depende del contexto, podría ser un conjunto, o una clase, o ninguna de las dos.
@AsafKaragila de lo que entiendo, las clases son válidas sintácticamente "conjuntos", pero no semánticamente (por ejemplo, la paradoja de Russell se puede expresar sintácticamente, aunque bajo la semántica ZFC no tiene sentido). Pero luego cuando dices "Podemos hablar sobre colecciones que no son definibles, pero eso requiere mucho más conocimiento en lógica y teoría de conjuntos para entrar en ello". No estoy seguro de lo que quieres decir. ¿Podrías explicarlo más detalladamente?
Cuando se construyen los fundamentos de las matemáticas usando la teoría de conjuntos, queremos un sistema de axiomas que nos dé muchos conjuntos (para poder hacer otras matemáticas con ellos) pero que no sea contradictorio.
Un intento temprano de axiomatizar la teoría de conjuntos incluía el "Esquema de Axiomas de Comprensión", que dice que si $p(x)$ es una fórmula de primer orden en el lenguaje de conjuntos (un poco técnico, pero se puede entender como "una afirmación sobre conjuntos que es verdadera o falsa para cada conjunto x"), entonces $\{x : p(x) \}$ es un conjunto. Sin embargo, Russel mostró que usar este axioma conduce a una paradoja: toma $p(x)$ como "$x$ no es un elemento de $x$", entonces al considerar si $\{x : p(x) \}$ es un elemento de sí mismo se llega a una contradicción.
Por lo tanto, al axiomatizar la teoría de conjuntos, debemos ser más restrictivos sobre lo que es un conjunto. Sin embargo, $\{x : p(x) \}$ sigue siendo una noción útil y la llamamos una "clase". En particular, la fórmula $p(x)$, que usamos para definir clases, tiene la variable $x$ recorriendo solo conjuntos, por lo que no obtenemos la paradoja de Russel. Nota que una clase aún puede ser un conjunto: de hecho, todos los conjuntos son clases. Llamamos clases que no son conjuntos "clases propias".
No conozco ninguna definición formal de una colección, ¿podría ser simplemente una noción informal? Debido a las limitaciones de la lógica de primer orden, no todas las colecciones (usadas informalmente ;) ) de cosas que nos gustaría considerar surgen como clases.
¿Qué pasa con "esa cosa que contiene la clase de todos los conjuntos, y la clase de todos los ordinales, y nada más"? No puede ser un conjunto porque los conjuntos no pueden contener clases propias. Tampoco puede ser una clase propia porque solo tiene dos elementos. Sin embargo, sería una restricción extraña no tenerlo, porque lo usas implícitamente si hablas sobre esas dos clases (la frase "esas dos clases" ya implica que tienes una biyección entre él y algún conjunto de dos elementos, o no podrías usar razonablemente la palabra "dos" aquí).
En lógica de predicados, podríamos tener una afirmación como "para todos los valores de $x$, $\phi(x)$ es una afirmación verdadera", donde $\phi(x)$ podría ser una afirmación como $x=x$. ¿De qué "valores de $x$" estamos hablando? Bueno, esos valores de $x$ son "conjuntos".
La teoría de conjuntos nos permite generar clases de conjuntos: podemos decir, por ejemplo, "la colección de todos los conjuntos $x$ que satisfacen una condición $\phi(x)$". En notación de constructor de conjuntos, esto se escribe como $\{x:\phi(x)\}$. Podría surgir la pregunta: ¿podemos asumir que esta nueva clase de conjuntos es un conjunto en sí misma?
De manera intuitiva, puede parecer razonable considerar $\{x:\phi(x)\}$ como un valor de $x$. Sin embargo, la paradoja de Russell nos muestra que tal suposición nos lleva a una contradicción.
La paradoja nos pide que consideremos la colección de todos los conjuntos $x$ que no son miembros de sí mismos. Es decir, $\{x:x\not \in x\}$; vamos a llamar a este conjunto $R$. ¿Es la clase resultante un miembro de sí misma? Bueno, si aceptamos que $\{x:x \not \in x\}$ es un posible valor de $x$, entonces llegamos a la contradicción de que este conjunto, $$R \in R \iff R \not \in R$$
Entonces, los conjuntos son los miembros del universo del discurso: es decir, son todos los "valores de $x$" a los que nos referimos cuando creamos una afirmación utilizando cuantificadores como "para todo $x$" o "existe un $x$".
Las clases, por otro lado, son colecciones de conjuntos. Algunas clases son conjuntos, como $\{x\}$ (en la mayoría de las teorías de conjuntos), pero otras no lo son, como la clase $R$ descrita anteriormente. Todos los conjuntos son clases, pero no todas las clases son conjuntos.
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También puedes leer este hilo para obtener información sobre la paradoja de Russell y este otro para la diferencia entre una clase y un conjunto.