Se eligen 5 cartas de una baraja estándar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener los cuatro ases, más el rey de picas?

Question

Tenemos $\binom{52}{5}$ formas de hacerlo. Este será nuestro denominador.

Queremos seleccionar los 4 ases, hay hay exactamente $\binom{4}{4}$ formas de hacerlo.

Ahora hemos seleccionado 4 cartas, y tenemos que seleccionar una más. Esa carta tiene que ser el rey de picas. De las 48 cartas restantes, sólo una de ellas es la que queremos. Esta puede ser elegida en $\binom{48}{1}$ formas.

Así es la respuesta:

$$\dfrac{\binom{4}{4}\binom{48}{1}}{\binom{52}{5}}=\dfrac{1}{54145}?$$

¿Es esto correcto?

Si lo miramos de otra manera:

Entonces nuestra probabilidad para los ases y el rey específico son $(4/52)\times (3/51) \times (2/50) \times (1/49) \times (1/48)$ que es un lugar completamente diferente.

¿Cuál es el enfoque correcto?

Answer 1

Suponiendo que sólo quieras esas 5 cartas en cualquier orden:

Como ha especificado las 5 cartas concretas que quiere, no necesita considerar los ases por separado del rey. La probabilidad de seleccionar estas 5 cartas es entonces

(Probabilidad de elegir uno de los 5) $\times$ (Probabilidad de elegir uno de los 4 restantes) $\times$ ..., es decir $$\frac{5}{52} \times \frac{4}{51} \times \frac{3}{50} \times \frac{2}{49} \times \frac{1}{48} = \frac{1}{54145} \times \frac{1}{48},$$ sólo para confirmar lo que Ross Millikan dijo .

Si, en cambio, quieres los 4 ases antes del rey, tenemos $$\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{2}{50} \times \frac{1}{49} \times \frac{1}{48}.$$

Answer 2

Has determinado completamente las cinco cartas que quieres, así que la probabilidad es $\frac{1}{{52 \choose 5}}$ ya que hay ${52 \choose 5}$ diferentes formas de elegir 5 cartas del mazo, y sólo una correcta.

Answer 3

Su primer cómputo obtiene la posibilidad de obtener cuatro ases y cualquier otra carta. El $48 \choose 1$ factor es seleccionar la otra tarjeta. Si quieres específicamente el rey de picas debe ser $1$ , por lo que la posibilidad es $48$ veces menos. Tu segundo cálculo obtiene la posibilidad de que saques primero los cuatro ases en algún orden y luego el rey de picas. Debes multiplicar por $5$ para el número de posiciones en las que puede estar el rey. Ninguna de las dos es correcta para la pregunta del título.

Answer 4

La primera forma :

Sólo hay un conjunto de cartas, que se ajusta a las especificaciones (los 4 ases y el rey de picas) y $\binom{52}{5}$ diferentes conjuntos de cartas que se pueden extraer con la misma probabilidad. La probabilidad de sacar su conjunto es $$ \frac{1}{\binom{52}{5}} $$

La segunda forma :

La probabilidad de sacar una carta específica de $n$ es $\frac{1}{n}$ . Así que una secuencia u orden específico de 5 cartas tiene la posibilidad $\frac{1}{52}\cdot\frac{1}{51}\cdot\frac{1}{50}\cdot\frac{1}{49}\cdot\frac{1}{48}$ para ser dibujado. Hay $5!$ diferentes secuencias u ordenaciones de 5 cartas, que cuentan con las 5 cartas especificadas (s. permutaciones ). Por lo tanto, la posibilidad de sortear el conjunto es $$ \frac{5!}{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48} = \frac{5!\cdot 47!}{52!} = \frac{1}{\frac{52!}{5!\cdot 47!}} = \frac{1}{\binom{52}{5}} $$

Para la última igualdad, véase Coeficiente binomial .

Answer 5

Se seleccionan 4 ases de 4 posibles ases y un rey de picas de 1 posible rey de picas, por lo que hay exactamente $$\binom{4}{4}\binom{1}{1}=1$$ manera de completar este conjunto. Por lo tanto, este conjunto es único.

Hay $\binom{52}{5}$ conjuntos únicos de cinco cartas.

Por lo tanto, la probabilidad de elegir este conjunto de cinco cartas es:

$$P=\frac{\binom{4}{4}\binom{1}{1}}{\binom{52}{5}} = \frac{1}{2598960}$$