Calculando la raíz cuadrada de 2

Question

Dado que $\sqrt{2}$ es irracional, ¿hay alguna forma de calcular las primeras 20 cifras de este número?

Lo que he hecho hasta ahora

Comencé calculando de manera iterativa la primera cifra decimal de $\sqrt{2}$ para que no aumentara tan rápido hacia 3. Se ve así:

$$\begin{align} \sqrt 2 & = 1.4^{2} \equiv 1.96\\ \sqrt 2 & = 1.41^{2} \equiv 1.9881\\ \sqrt 2 & = 1.414^{2} \equiv 1.999396\\ & \ldots \end{align}$$

Primero determino si pasa de tal manera que $1.x^{2}$ no sea mayor que 3.

Si eso pasa, añadiré un nuevo decimal. Digamos $y.$ $1.xy^{2}$
Si ese $y$ falla, incremento $y$ en 1 y vuelvo a elevar al cuadrado.

El proceso continuará repitiéndose. Desafortunadamente, este proceso toma mucho tiempo.

Answer 1

Calcular la raíz cuadrada de un número es uno de los primeros problemas abordados con métodos numéricos, conocido creo que por los antiguos babilonios. La observación es que si $x,\,y>0$ y $y\ne\sqrt{x}$ entonces $y,\,x/y$ estarán en lados opuestos de $\sqrt{x}$, y podríamos intentar promediarlos. Así que intenta con $y_0=1,\,y_{n+1}=\frac12\left(y_n+\frac{x}{y_n}\right)$. Esto es en realidad el método de Newton-Raphson mencionado por 5xum. El número de decimales correctos aproximadamente se duplica en cada etapa, es decir, probablemente solo tengas que llegar hasta $y_5$ o algo así.

Answer 2

Así es como aprendí a obtener dígito decimal tras decimal cuando comencé la escuela intermedia:

$$\begin{array}{lcl} 2&\big( &\color{red}1.414\,2\dots \\[1ex] 1\,00&& 24\times \color{red}4=96<100\\ -96\,&& 25\times5=125>100\\[1ex] \phantom{-0}4\,00&&281\times\color{red}1<400\\ \;\:-2\,81&&282\times2>400\\[1ex] \phantom{-0}119\,00&&2824\times\color{red}4<11900\\ \phantom{0}{-}112\,96&&2825\times5>11900 \\[1ex] \phantom{00\;}604\,00&&28282\times\color{red}2 < 60400 \\ &&28283\times3> 60400 \end{array}$$ &c.

Permíteme explicar el procedimiento en los dos primeros pasos. Se basa en un uso inteligente de la identidad $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. Supongamos de manera más general que queremos encontrar la raíz cuadrada de un número $a$.

1. Primero encontramos el mayor número natural $n$ tal que $n^2\le a$.
2. Si $a$ no es un cuadrado perfecto, es decir, si $n^2

Answer 3

En una nota similar a la respuesta de R. Romero: en el caso especial de tomar la raíz cuadrada de un número entero $N$, es bastante sencillo calcular la representación en fracción continua de $\sqrt{N}$.

En el caso particular $N=2$, tenemos: $$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \ddots}}}.$$ (Esto se sigue del hecho de que si $x = \sqrt{2}-1$, entonces $x = \sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{1}{2+x}$.)

Ahora, a partir de esto podemos calcular aproximaciones racionales subsecuentes a $\sqrt{2}$:

$$\begin{matrix} & & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & \cdots \\ 0 & 1 & 1 & 3 & 7 & 17 & 41 & 99 & \cdots \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 5 & 12 & 29 & 70 & \cdots \end{matrix}$$ Entonces, por ejemplo $\frac{99}{70} \approx 1.4142857$ mientras que $\sqrt{2} \approx 1.4142136$.

(También sucede que este procedimiento genera soluciones a la ecuación de Pell $a^2 - 2 b^2 = \pm 1$; por ejemplo, $99^2 - 2 \cdot 70^2 = 1$. La conexión es: si $a^2 - 2 b^2 = \pm 1$ entonces $a - b \sqrt{2} = \pm \frac{1}{a + b \sqrt{2}}; entonces si$a$y$b$son enteros positivos grandes que satisfacen la ecuación de Pell, entonces$a - b\sqrt{2} \approx \pm\frac{1}{2a}$lo que implica$\frac{a}{b} - \sqrt{2} \approx \pm\frac{1}{2ab} \approx \pm\frac{1}{a^2\sqrt{2}}.)

Answer 4

El número $\sqrt{2}$ es la solución a la ecuación $x^2-2=0$, por lo que cualquier método para aproximar numéricamente las raíces de una ecuación (como el método de Newton) podrá aproximar $\sqrt{2}$.

Answer 5

Supongamos que quieres encontrar la raíz cuadrada de $p$ y supongamos que tu suposición inicial es $x/y:

Sea $\mathbf M=\begin{bmatrix} 1 & p \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ y $\mathbf q=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ Entonces $\mathbf M\mathbf M\mathbf M...\mathbf q$ da como resultado un numerador y un denominador cuya razón converge a la raíz cuadrada de $p$. Esto proporciona una aproximación a la raíz cuadrada de $2$ tan rápido como los otros métodos pero sin aritmética de punto flotante hasta la división final.

Funciona bien para herramientas de cálculo optimizadas para la aritmética de matrices. Esto también te proporciona soluciones para la ecuación de Pell para $p=2$ como mencionó Daniel Schepler.