Demuestre que esta suma de Fibonacci es menos de 12

Question

Repasando algunas notas matemáticas antiguas, vi este problema.

Demuestre que$$\frac{1}{F(1)} + \frac{2}{F(2)} + \cdots + \frac{n}{F(n)} < 13.$ $

No escribí una prueba, pero sí reduje la desigualdad$F(n) > \phi^{n-2}$, lo que me dice que cada término puede estar limitado:$$\frac{n}{F(n)} < \frac{n}{\phi^{n-2}}.$$ I have played around with the inequality, and tried different bounds like $ \ frac {3} {2} <\ phi $ pero no he podido demostrar esta desigualdad.

Answer 1

Para cualquier$n$ lo suficientemente grande, tenemos$F_n\geq \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{8}{5}\right)^n$ por la fórmula explícita (de Binet) para los números de Fibonacci y el hecho de que$\varphi >\frac{8}{5}$. Aquí lo suficientemente grande simplemente significa$\geq 4$, de ahí$$ \sum_{n\geq 1}\frac{n}{F_n}\leq \sum_{n=1}^{3}\frac{n}{F_n}+\sqrt{5}\sum_{n\geq 4}\frac{n}{\left(\frac{8}{5}\right)^n}=\frac{9}{2}+\frac{10625 \sqrt{5}}{4608}<\color{red}{10}. $ $