Una representación, por ejemplo, de$\mathbb{R}$ es un homomorfismo grupal$f: \mathbb{R} \to \text{GL}_n(\mathbb{R})$. Si suponemos que$f$ es continuo, entonces hay una fórmula muy buena para todos los homomorfismos, es decir, que$f$ tiene que tener la forma$f(t) = e^{t \cdot a}$ para alguna matriz fija$a \in \text{M}_n(\mathbb{R})$ Mi pregunta es, ¿qué sucede si dejamos de lado la suposición de que el mapa es continuo? ¿Tenemos que utilizar el Axioma de elección para construir los objetos que nos interesan aquí?
Respuesta
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Permita que$f$ sea una solución discontinua de la ecuación de Cauchy. Es decir, elija una función aditiva discontinua$f$ en los reales. Entonces la función$g(t) = e^{If(t)}$ es un homomorfismo entre el grupo aditivo$\Bbb{R}$ y el grupo multiplicativo$\mathrm{GL}(\Bbb{R}, n)$, donde$I$ es la matriz de identidad. La existencia de$f$ discontinuo necesita el axioma de elección.
