¿Cuál es la derivada (pendiente) de $$\operatorname{vec}(W)^\la parte superior \left[\sum_i (ue_i^\la parte superior)\otimes(e_ie_i^\la parte superior) + \sum_j(e_je_j^\la parte superior)\otimes(ue_j^\) - 2I\otimes I\right] \operatorname{vec}(FF^\la parte superior),\etiqueta{3} $$ where $e_i$ denotes the $i$-th vector in the canonical basis and $u=\sum_ie_i=(1,1,\ldots,1)^\$ donde "$\otimes$" denota el producto de Kronecker (producto tensor) con respecto a la matriz rectangular $F$? y $W$ es una constante de matriz. El plazo mencionado también puede ser simplificado como $\sum_{ijl}(F_{il}-F_{jl})^2W_{ij}$, que es mucho más simple expresión. ¿Qué sería de la derivada? Todas las entradas anteriores son reales mientras que $F$ es una matriz rectangular. También consulte : Representar en una matriz de la forma: $\sum_{ijl}(F_{il}-F_{jl})^2W_{ij}$ para los detalles sobre la simplificación/álgebra.
Respuesta
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Para encontrar la derivada, es mucho más fácil trabajar con su expresión original$S=\sum_{ijl}(F_{il}-F_{jl})^2W_{ij}$. Tenga en cuenta que, para los índices fijos$I$ y$J$, \begin{align*} S = &\text{ terms that do not involve } F_{IJ}\\ &+\ (F_{IJ} - F_{IJ})^2 W_{II} + \sum_{j\neq I} (F_{IJ} - F_{jJ})^2 W_{Ij} + \sum_{i\neq I} (F_{iJ} - F_{IJ})^2 W_{iI}\\ = &\text{ terms that do not involve } F_{IJ}\\ &+\ \sum_{k\neq I} (F_{IJ} - F_{kJ})^2 W_{Ik} + \sum_{k\neq I} (F_{kJ} - F_{IJ})^2 W_{kI}. \end {align *} Let$K = W-W^T$. Entonces \begin{align*} \frac{\partial S}{\partial F_{IJ}} =&2\sum_{k\neq I} (F_{IJ} - F_{kJ}) W_{Ik} + 2\sum_{k\neq I} (F_{kJ} - F_{IJ}) W_{kI}\\ =&2\sum_{k\neq I} (F_{IJ} - F_{kJ}) (W_{Ik}-W_{kI})\\ =&2\sum_{k\neq I} (F_{IJ} - F_{kJ}) K_{Ik}\\ =&2\sum_k (F_{IJ} - F_{kJ}) K_{Ik}\\ =&2F_{IJ}\sum_k K_{Ik} - 2\sum_k K_{Ik}F_{kJ}. \end {align *} Por lo tanto $$ \ left (\ frac {\ partial S} {\ partial F_ {ij}} \ right) = 2F \ circ (KE) - 2KF $$ donde$E$ es la matriz con el mismo tamaño que$F$ y todas las entradas son igual a$1$.
